Norma de operator

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 noiembrie 2020; verificările necesită 2 modificări .

O normă de operator este o normă definită pe operatori liniari mărginiți de la un spațiu normat la altul. Denumit și operator , subordonat sau normă indusă .

Norma operatorului transformă spațiul liniar al operatorilor însuși într-un spațiu normat. Structura corespunzătoare a spațiului topologic liniar al operatorilor se numește topologie normă sau topologie operator (fără specificație ).

Definiție și notare

În cele ce urmează, K va desemna câmpul principal , care este un câmp normat . De obicei K = sau K = . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Fie V 1 și V 2 două spații liniare normate peste K și T fie un operator liniar de la V 1 la V 2 . Dacă există un număr nenegativ [1] M astfel încât

\forall x\in V_{1}:\|Tx\|\leqslant M\|x\|,

atunci operatorul T se numește mărginit , iar cel mai puțin astfel de M posibil se numește norma sa ‖ T ‖ . Dacă V 1 este dimensional finit , atunci fiecare operator este mărginit.

Norma operatorului T poate fi calculată prin formula [2] :

{\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in V_{1},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\în V_{1},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}

Dacă spațiul V 1 este format dintr-un zero , atunci formula dată nu funcționează, dar ‖ T ‖ = 0 deoarece T = 0 .

Spațiul liniar al operatorilor mărginiți de la V 1 la V 2 este notat cu . În cazul când scriu în loc de . Dacă este un spațiu Hilbert , atunci uneori se scrie în loc de . $L(V_{1},V_{2})$ $V_{1}=V_{2}=V$ $L(V)$ $L(V,V)$ $H$ $B(H)$ $L(H)$

Proprietăți

Limitare și continuitate

Operatorul liniar dintre spațiile normate este mărginit atunci si numai cand este continua .

Norma

Pe se poate introduce structura unui spațiu vectorial cu operații și , unde , , și este un scalar arbitrar. Norma operatorului face din spațiul liniar al operatorilor mărginiți un spațiu normat , adică satisface axiomele corespunzătoare: $L(V_{1},V_{2})$ $(T+S)x=Tx+Sx$ $T(\alpha x)=\alpha (Tx)$ $T,S\în L(V_{1},V_{2})$ $x\în V_{1}$ $\alpha \în K$

$\|T\|\geqslant 0$ (prin definitie)
$\|T\|=0$ dacă și numai dacă (decurge din definiția unui spațiu normat) $T=0$
$\|\alpha T\|=|\alpha |\|T\|$ pentru toate $\alfa$ $K$
$\|S+T\|\leqslant \|S\|+\|T\|$ pentru toți operatorii mărginiți și de la V 1 la V 2 . $S$ $T$

Submultiplicativitatea

Dacă S este un operator de la V 2 la V 3 și T este un operator de la V 1 la V 2 , atunci produsul lor ST este definit ca o compoziție de funcții S ∘ T . Norma operatorului satisface proprietatea de submultiplicativitate :

\|ST\|\leq \|S\|\|T\|

În cazul V 1 = V 2 = V , operatorii mărginiți pot fi înmulțiți fără a părăsi spațiul și, prin urmare, norma operatorului transformă algebra operatorului într-o algebră normată . $L(V)$ $L(V)$

Completitudine

Un spațiu este Banach dacă și numai dacă V 1 este zero-dimensional [3] sau V 2 este Banach. $L(V_{1},V_{2})$

Dacă V este un spațiu Banach, atunci cu înmulțirea introdusă mai sus este o algebră Banach . $L(V)$

Exemple de utilizare

Între spații cu dimensiuni finite

Normele operatorilor (pentru diverse norme pe vectori) constituie o clasă importantă de norme posibile asupra spațiilor matriceale .

Pe spațiile Hilbert

Algebra operatorilor mărginiți (pe un spațiu Hilbert H ) cu normă operator este o algebră C* cu operația de involuție dată de conjugarea Hermitiană . În același timp, algebra operatorilor compacti este *-subalgebra sa închisă și chiar idealul său . $L(H)$

Comparații

Norma operator cu alte norme

Alte norme, mai puternice, sunt, de asemenea, definite pe operatori pe un spațiu Hilbert, de exemplu, norma Hilbert-Schmidt . În cazul infinit-dimensional, astfel de norme nu sunt definite (infinite) pe unii operatori mărginiți .

Norm topologii cu alții

În cazul dimensional finit (când ambele spații V 1 și V 2 sunt dimensionale finite), este, de asemenea, dimensional finit și toate topologiile (și normele) pe un astfel de spațiu liniar sunt echivalente. Cu toate acestea, când ambele spații V 1 și V 2 sunt infinit-dimensionale, sunt posibile topologii mai slabe (mai aspre) : $L(V_{1},V_{2})$ $L(V_{1},V_{2})$

Topologie de operator puternică ; numele este înșelător, deoarece este mai slab (mai aspru) decât topologia normală.
Topologie slabă a operatorului ; chiar mai slab (mai aspru).

Literatură

Murphy J. C*-algebre și teoria operatorilor. M.: Factorial, 1997. 336s. ISBN 5-88688-016-X
Prasolov VV Probleme și teoreme ale algebrei liniare. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .

Note

↑ În cazul general, un element al câmpului ordonat , în care normalizarea pe K ia valori .
↑ Probleme și teoreme ale algebrei liniare, 1996 , p. 210.
↑ În acest caz , dar este complet. $L(V_{1},V_{2})=\{0\}$