Spațiu vectorial topologic

Spațiul vectorial topologic , sau spațiul liniar topologic , este un spațiu vectorial dotat cu o topologie , față de care operațiile de adunare și înmulțire cu un număr sunt continue . Termenul este folosit în principal în analiza funcțională [1] .

Definiție

O mulțime se numește spațiu vectorial topologic dacă [2] [1] $E$

$E$ este un spațiu vectorial peste câmpul numerelor reale sau complexe ;
$E$ este un spațiu topologic ;
Operațiile de adunare și înmulțire cu un număr sunt continue față de topologia dată, adică $E$
1. dacă , atunci pentru fiecare vecinătate a punctului se pot specifica astfel de vecinătăți și puncte și , respectiv, aceea pentru , ; $z_{0}=x_{0}+y_{0}$ $U$ $z_{0}$ $V$ $W$ $x_{0}$ $y_0$ $x+y\în U$ $x \în V$ $y\în W$
2. dacă , atunci pentru fiecare vecinătate a punctului există o vecinătate a punctului și un număr astfel încât pentru și . $z_{0}=\alpha _{0}x_{0}$ $U$ $z_{0}$ $V$ $x_{0}$ $\varepsilon >0$ $\alpha x\în U$ $|\alpha -\alpha _{0}|<\varepsilon$ $x \în V$

Exemple

spațiu euclidian ;
Spațiul Banach .

Tipuri de spații topologice liniare

În funcție de aplicațiile specifice, unele condiții suplimentare sunt de obicei impuse spațiilor topologice liniare. Unele tipuri de spații topologice liniare sunt enumerate mai jos, ordonate (cu un anumit grad de convenție) după prezența proprietăților „bune”.

Spații vectoriale topologice convexe local (pur și simplu „spații convexe local” pe scurt): în astfel de spații, fiecare punct are o bază locală constând din mulțimi convexe . Folosind așa-numitele funcționale Minkowski, se poate demonstra că un spațiu vectorial topologic este local convex dacă și numai dacă topologia sa este definită folosind o familie de seminorme . Condiția convexității locale a fost de multă vreme tocmai conceptul pe baza căruia se poate construi numai o teorie bogată în aplicații, deoarece spațiile care nu sunt local convexe pot avea diverse proprietăți patologice, iar geometria lor poate fi prea „nenaturală” pentru aplicații. . Cu toate acestea, în prezent, teoria spațiilor delimitate local (în general neconvexe) a început să se dezvolte activ.
Spații cu bare : spații convexe local în care este valabil principiul mărginirii uniforme .
Spații stereotip : spații convexe local care satisfac condiția de reflexivitate , în care spațiul dual este înzestrat cu topologia convergenței uniforme pe mulțimi total mărginite.
Spații Montel : spații cu butoaie care au proprietatea Heine–Borel .
Spații bornologice : spații convexe local în care operatorii liniari continui cu valori în spații convexe local sunt operatori liniari exact mărginiți.
LF-spaces : LF-space este limita inductivă a spațiilor Fréchet. Spațiile ILH sunt limite proiective ale spațiilor Hilbert.
F-spații : spații vectoriale topologice complete cu metrica invariantă (sub deplasări). În special, toate spațiile L p (p > 0) sunt astfel.
Spații Fréchet : spații convexe local a căror topologie este dată de o metrică invariantă de deplasare sau, echivalent, de o familie numărabilă de seminorme. Conceptul de spațiu Fréchet este una dintre cele mai importante generalizări ale conceptului de spațiu Banach. Multe spații funcționale de interes sunt spații Fréchet. Un spațiu Fréchet poate fi definit și ca un spațiu F local convex.
Spații nucleare : un caz special important al spațiilor Fréchet; în spațiile nucleare, fiecare mapare mărginită cu valori într-un spațiu Banach arbitrar este un operator nuclear . Spațiile nucleare, împreună cu spațiile Banach, sunt spații Frechet de cel mai mare interes. În acest caz, clasele de spații nucleare și Banach de la intersecție formează o clasă de spații cu dimensiuni finite.
Spații normate : spații convexe local a căror topologie este dată de o normă . Operatorii liniari care acționează asupra spațiilor normate sunt continui dacă și numai dacă sunt mărginiți.
Spații Banach : spații normate complete. Sunt obiectul de studiu al analizei funcționale clasice; majoritatea teoremelor de analiză sunt formulate tocmai pentru spațiile Banach.
Spații Banach reflexive : spații Banach în mod natural izomorfe la a doua lor conjugare .
Spații Hilbert : Spații Banach a căror normă este generată de un produs interior ; în ciuda faptului că aceste spații pot avea dimensiuni infinite, proprietățile lor geometrice sunt foarte apropiate de cele ale spațiilor cu dimensiuni finite.
Spații euclidiene : spații Hilbert cu dimensiuni finite. Fiecare spațiu vectorial topologic Hausdorff compact local este izomorf (ca spațiu vectorial topologic) cu un spațiu euclidian.

Note

↑ 1 2 Spațiu vectorial topologic // Dicționar enciclopedic matematic / cap. ed. Iu. V. Prohorov . - M., Enciclopedia Sovietică , 1988. - p. 582
↑ Kerin S. G. Analiză funcțională. - M., Nauka , 1972. - p. 19-21

Literatură

Shefer H. Spații vectoriale topologice. — M.: Mir, 1971.
Bourbaki N. Spații vectoriale topologice. — M.: Ed. străin lit., 1965.
Robertson A., Robertson V. Spații vectoriale topologice. — M.: Mir, 1967.
Smolyanov O. G. Analiza spațiilor topologice liniare și aplicațiile sale : manual. indemnizatie. - M .: Editura Universității de Stat din Moscova, 1979. - 86 p.