Inegalitatea Berry-Esseen

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 octombrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Inegalitatea Berry-Esseen este o inegalitate care permite estimarea ratei de convergență a unei sume de variabile aleatoare independente la o variabilă aleatoare cu o distribuție normală. Însuși faptul unei astfel de convergențe este numit teorema limită centrală în teoria probabilităților . Această inegalitate a fost derivată independent de Andrew Berry în 1941 și Carl-Gustav Esseen în 1942.

Enunțul teoremei

Cazul cantităților distribuite identic

Să fie dată o succesiune infinită de variabile aleatoare independente distribuite identic astfel încât . Se notează prin distribuția sumei formei . Apoi pentru toți și $X_n$ $M(X_{n})=0,M(X_{n}^{2})=\sigma ^{2}>0,M(|X_{n}^{3}|)=\rho <\infty$ $F_{n}$ $\sum _{i=1}^{n}X_{i}/\left(\sigma {\sqrt {n}}\right)$ $X$ $n$

\left|F_{n}(x)-{\mathcal {N))(x)\right|\leq {\frac {C\rho }{\sigma ^{3}{\sqrt {n} }}}

unde denotă distribuția normală standard și este o constantă, a cărei valoare continuă să fie rafinată. Conform celor mai recente date , [unu] $\mathcal{N}$ $C$ $C<0,4784$

Variabile aleatoare distribuite diferit

Un rezultat similar poate fi obținut în cazul în care termenii sunt repartizați diferit. Fie variabile aleatoare independente , . Să introducem notația: . Se notează prin distribuția unei variabile aleatoare de forma . Apoi pentru toți și $X_{k}$ $M(X_{k})=0,M(X_{k}^{2})=\sigma _{k}^{2},M(|X_{k}^{3}|)= \rho _{k}$ $s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2},r_{n}=\sum _{i=1}^{ n}\rho _{i}$ $F_{n}$ $\sum _{i=1}^{n}X_{i}/s_{n)$ $X$ $n$

\left|F_{n}(x)-{\mathcal {N}}(x)\right|\leq C{\frac {r_{n}}{s_{n}^{3}}}

Note

↑ Korolev, Shevtsova, 2010 .

Literatură

V. Feller. „Introducere în teoria probabilității și aplicațiile sale”. - 2. - Casa de carte „Librokom”, 2009. - T. 2.
Korolev, V. Yu.; Shevtsova, IG „La limita superioară pentru constanta absolută în inegalitatea Berry-Esseen” // Teoria probabilității și aplicațiile sale. — 2010.