Inegalitatea Brunn-Minkowski

Teorema Brunn-Minkowski este o teoremă clasică a geometriei convexe:

Formulare

Fie și corpuri convexe compacte în spațiul euclidian n - dimensional . Se consideră suma Minkowski , , adică mulțimea de puncte care împart segmentele cu capete în orice puncte ale mulțimilor și în raport cu . Apoi funcția $K_{0}$ $K_1$ $K_{\lambda }=(1-\lambda )K_{0}+\lambda K_{1}$ $\lambda \in[0,1]$ $K_{0}$ $K_1$ $\lambda$ $(1-\lambda )$

f(\lambda )={\sqrt[ {n}]({\mathop {{\rm {vol))))K_{\lambda }}}

este o funcție concavă a . $\lambda$

În plus, o funcție este liniară dacă și numai dacă și sunt omotetice. $f(\lambda )$ $K_{0}$ $K_1$

Note

Inegalitatea este ușor de dedus din cazul său particular ${\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol)} (A+B)))\geq {\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol)} A} }+{\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} B}}$

pentru orice corpuri convexe compacte și în spațiu n -dimensional.

A

B

Consecințele

Inegalitate izodiometrică : În spațiul euclidian, dintre toate corpurile cu un diametru dat , o sferă are cel mai mare volum . Pentru a demonstra teorema, este suficient să aplicați inegalitatea Brunn-Minkowski corpului datși copiei sale central simetrice. $W$ $W'$
Teorema poliedrului Lindelöf : Dintre toate poliedrele convexe ale spațiului euclidian tridimensional, cu direcții date ale feței și cu un volum dat, poliedrul descris în jurul bilei are cea mai mică suprafață.

Istorie

Teorema a fost stabilită de Brunn în 1887, rafinată și completată de Minkowski [1] , generalizată la cazul corpurilor compacte arbitrare de Lyusternik [2] .

Dovada destul de simplă dată de Blaschke folosește simetrizarea Steiner . O altă dovadă scurtă și simplă a fost găsită de G. Hadwiger și D. Oman. [3] În ea, inegalitatea este dovedită mai întâi pentru perechile de paralelipipede cu fețe paralele - această parte este echivalentă cu inegalitatea dintre media geometrică și media aritmetică . În plus, prin inducție, se dovedește pentru uniuni finite ale unor astfel de paralelipipede. Urmează inegalitatea deoarece orice corp poate fi aproximat printr-o astfel de uniune.

Variații și generalizări

Inegalitatea Aleksandrov-Fenchel este o inegalitate pentru volumul mixt , ceea ce implică inegalitatea Brunn-Minkowski.

Literatură

↑ Minkowski, Hermann . Geometrie der Zahlen (neopr.) . — Leipzig: Teubner, 1896.
↑ Lyusternik, Lazar A. Die Brunn-Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen (germană) // Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série) : magazin. - 1935. - Bd. III . - S. 55-58 .
↑ H. Hadwiger și D. Ohmann, Brunn-Minkowskischer Satz und Isoperimetrie, Math. Zeit. 66 (1956), 1–8

V. Blaschke , Cercul și mingea. M .: Nauka, 1967.
Burago Yu.D. , Zalgaller V.A. Inegalități geometrice. - Știință, 1980.
Federer G. Teoria măsurii geometrice. - 1987. - 760 p.