Volum mixt

Volumul mixt este o caracteristică numerică a unui set de corpuri convexe în spațiul euclidian -dimensional. $n$ $n$

Volumul mixt al unui set este de obicei notat $K_{1},K_{2},\dots,K_{n)$

V(K_{1},K_{2},\dots,K_{n})

Definiție

Fie mulțimea corpurilor convexe în și să fie numere reale pozitive. Se notează prin volumul corpului $K_{1},K_{2},\dots,K_{n)$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots,\lambda _{n)$ $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots,\lambda _{n})$

\lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\dots +\lambda _{n}\cdot K_{n},

unde „ ” indică suma Minkowski și $+$

\lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.

Funcția este un polinom omogen de grad . Coeficientul acestui polinom la este, prin definiție, egal cu . $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots,\lambda _{n})$ $n$ $\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n)$ $n!\cdot V(K_{1},K_{2},\dots,K_{n})$

observa asta

v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots,\lambda _{n})=\sum _{i_{1},\dots,i_{n}=1}^ {n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\dots ,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_ {2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.

Proprietăți

Pentru numere arbitrare nenegative , $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots,\lambda _{n)$ $V(\lambda _{1}\cdot K_{1},\lambda _{2}\cdot K_{2},\dots,\lambda _{n}\cdot K_{n})=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$
Volumul mixt este invariant sub translațiile paralele ale corpurilor dintr-o mulțime.
Volumul amestecat este monoton în ceea ce privește includerea corpurilor.
Volumul amestecat este continuu în raport cu metrica Hausdorff .
Volumul amestecat este nenegativ.
- Mai mult, dacă și numai dacă este posibil să se deseneze un segment în fiecare astfel încât aceste segmente să fie liniar independente. $V(K_{1},K_{2},\dots,K_{n})>0$ $K_{i}$
Pentru un număr întreg nenegativ , volumul mixt de copii ale corpului convex în și copii ale bilei unității este exprimat în termenii celei de-a --a măsuri transversale medii . În special $k\leq n$ $nk$ $K$ $\mathbb {R} ^{n}$ $k$ $k$ $K$
- Volumul mixt al unui set de copii este egal cu volumul normal . $n$ $K$ $K$
- Volumul mixt al unui set de sulițe și al unei singure mingi este egal cu aria suprafeței . $n-1$ $K$ ${\frac {1}{n}}$ $K$
Numărul tipic de soluții pentru un sistem de ecuații polinomiale este egal cu volumul mixt al poliedrelor lui Newton . $f_{1}=f_{2}=\dots =f_{n}=0$ $f_{i}$
inegalitatea lui Minkowski $V^{n}(K,L,\dots,L)\geq V(K)\cdot V^{n-1}(L)$
Aleksandrov - inegalitatea Fenchel $V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3} ,\ldots ,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots,K_{n})}}.$

Vezi și

teorema lui Hadwiger

Literatură

Burago, Yuri Dmitrievich , Viktor Abramovici Zalgaller . Inegalități geometrice. Știință, 1980.