Inegalitatea lui Harnack

Inegalitatea lui Harnack  — dacă o funcție care este armonică într-o bilă -dimensională cu raza centrată într-un anumit punct este nenegativă în această bilă, atunci următoarele inegalități sunt valabile pentru valorile sale în punctele din interiorul bilei luate în considerare: , unde .

Dovada

În virtutea formulei Poisson pentru punctele din interiorul mingii , avem . Ținând cont de inegalitățile , datorită condiției obținem de aici că , sau, aplicând teorema Gauss . Astfel, trecând la limita de la , obținem inegalitatea lui Harnack .

Literatură