Inegalitatea patrulatera

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 aprilie 2017; verificările necesită 3 modificări .

Inegalitatea patrulater este o inegalitate care este valabilă pentru oricare patru puncte ale unui spațiu metric unde inegalitatea triunghiului este adevărată . Sensul său geometric este că diferența dintre două laturi ale unui patrulater nu depășește suma celorlalte două laturi [1] .

Formulare

Să notăm distanța dintre punctele spațiului metric și . Atunci pentru oricare patru puncte ale spațiului metric este valabilă următoarea inegalitate: . $\rho (x,y)$ $X$ $y$ $x,y,z,u$ $\left|\rho (x,z)-\rho (y,u)\right|\leqslant \rho (x,y)+\rho (z,u)$

Dovada

Luați în considerare inegalitățile care urmează din inegalitatea triunghiului :

\rho (x,z)\leqslant \rho (x,y)+\rho (y,u)+\rho (u,z)

\rho (y,u)\leqslant \rho (y,x)+\rho (x,z)+\rho (z,u)

Scădeți din ambele părți ale primei inegalități și din ambele părți ale celei de-a doua inegalități . $\rho (y,u)$ $\rho (x,z)$

Inegalitatea al doilea triunghi

Când , inegalitatea patrulater se transformă în inegalitatea al doilea triunghi: $z=u$ $\left|\rho (x,z)-\rho (y,z)\right|\leqslant \rho (x,y)$

Inegalități patrulatere în planimetrie

Inegalitatea patrulaterelor - modulul diferenței oricăror două laturi ale unui patrulater nu depășește suma celorlalte două laturi : . $\left|ab\right|\leq c+d$
În mod echivalent: în orice patrulater (inclusiv unul degenerat) suma lungimilor celor trei laturi ale sale nu este mai mică decât lungimea celei de-a patra laturi, adică: ; ; ; . $a\leq b+c+d$ $b\leq +c+d$ $c\leq a+b+d$ $d\leq a+b+c$

Note

↑ Shilov G. E. Analiză matematică. Curs special. — M.: Fizmatlit, 1961. — P. 29

Vezi și

inegalitatea triunghiulară