Patrulater

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 28 iulie 2022; controalele necesită 74 de modificări .

CADRANGURI
┌─────────────┼──────────────┐
simplu neconvex	convex	auto-intersectându-se

Un patrulater este o figură geometrică ( poligon ) formată din patru puncte (vârfurile), dintre care trei nu se află pe aceeași linie dreaptă și patru segmente (laturi) care leagă aceste puncte în serie. Există patrulatere convexe și neconvexe; un patrulater neconvex se poate auto-intersecta (vezi Fig.). Un patrulater fără auto-intersecții se numește simplu , adesea termenul „cadrilater” înseamnă doar patrulatere simple [1] .

Tipuri de patrulatere

Cadrilatere cu laturile opuse paralele

Un deltoid este un patrulater ale cărui patru laturi pot fi grupate în două perechi de laturi egale adiacente.
Un pătrat este un patrulater în care toate unghiurile sunt drepte și toate laturile sunt egale;
Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt egale și paralele în perechi ;
Dreptunghi - un patrulater în care toate unghiurile sunt drepte;
Un romb este un patrulater în care toate laturile sunt egale;
Un romboid este un paralelogram în care laturile adiacente sunt de lungimi diferite, iar unghiurile nu sunt drepte.
Un trapez este un patrulater cu două laturi opuse paralele;

Cadrilatere cu laturile opuse antiparalele

Un antiparalelogram sau contraparalelogram este un patrulater plat neconvex (auto-intersectând) în care fiecare două laturi opuse sunt egale între ele, dar nu paralele, spre deosebire de paralelogram .
Trapez isoscel sau trapez isoscel .
Un patrulater înscris sau patrulater înscris este un patrulater ale cărui vârfuri se află pe același cerc. Este, de asemenea, un patrulater cu laturile opuse antiparalele.

Cadrilatere cu laturile adiacente perpendiculare

Cadrilatere cu diagonale perpendiculare

Deltoid
Pătrat
Un patrulater ortodiagonal sau ortodiagonal este un patrulater în care diagonalele se intersectează în unghi drept .
Romb

Cadrilatere cu diagonale paralele

Antiparalelogram

Patrulatere cu laturi opuse egale

nu vei avea nevoie de ea în viitor.

Cadrilatere cu diagonale egale

Pătrat
Un patrulater echidiagonal sau echidiagonal este un patrulater convex ale cărui două diagonale sunt de lungime egală.
Dreptunghi
Trapez isoscel sau trapez isoscel .

Patraunghiuri înscrise în jurul unui cerc

Un patrulater circumscris sau circumscris este un patrulater convex ale cărui laturi sunt tangente la un singur cerc în interiorul patrulaterului.

Cvadripartit complet

Deși un astfel de nume poate fi echivalent cu un patrulater, i se dă adesea un sens suplimentar. Cele patru linii, dintre care nici două sunt paralele și nici trei dintre ele trec prin același punct, se numesc patrulater complet . O astfel de configurație se găsește în unele afirmații de geometrie euclidiană (de exemplu, teorema Menelaus , linia Newton-Gauss , linia Auber , teorema Miquel etc.), în care toate liniile sunt adesea interschimbabile.

Suma unghiurilor

Suma unghiurilor unui patrulater fără autointersecții este 360°.

\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=(4-2)\cdot 180^{\circ }=2\cdot 180^{\circ }=360^{\ circ}

Rapoarte metrice

Inegalitatea patrulaterului

Modulul diferenței oricăror două laturi ale unui patrulater nu depășește suma celorlalte două laturi.

\left|ab\right|\leq c+d

În mod echivalent: în orice patrulater (inclusiv unul degenerat), suma lungimilor celor trei laturi ale sale nu este mai mică decât lungimea celei de-a patra laturi, adică:

a\leq b+c+d

;

b\leq a+c+d

;

c\leq a+b+d

;

d\leq a+b+c

Egalitatea în inegalitatea patrulater este atinsă numai dacă este degenerată , adică toate cele patru vârfuri ale sale se află pe aceeași linie.

Inegalitatea lui Ptolemeu

Pentru laturile și diagonalele unui patrulater convex , inegalitatea lui Ptolemeu este valabilă : $a,b,c,d$ $e,f$

|e|\cdot |f|\leq |a|\cdot |c|+|b|\cdot |d|,

în plus, egalitatea se realizează dacă și numai dacă patrulaterul convex este înscris într-un cerc sau vârfurile lui se află pe o singură dreaptă.

Relațiile dintre laturile și diagonalele unui patrulater

Șase distanțe între patru puncte arbitrare ale planului, luate în perechi, sunt legate prin relația:

a^{2}c^{2}\left(b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-a^{2}-c^{2}\right )+b^{2}d^{2}\left(a^{2}+c^{2}+e^{2}+f^{2}-b^{2}-d^{2} \dreapta)+

+e^{2}f^{2}\left(a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}\ dreapta)=(abe)^{2}+(bcf)^{2}+(cde)^{2}+(daf)^{2}

Acest raport poate fi reprezentat ca un determinant :

\left|{\begin{matrix}0&a^{2}&e^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&f^{2}&1\\e^{2} &b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&f^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{matrice}}\right|=0

Acest determinant, până la un factor de 288, este o expresie pentru pătratul volumului unui tetraedru în termeni de lungimi ale muchiilor sale folosind determinantul Cayley-Menger . Dacă vârfurile unui tetraedru se află în același plan, atunci acesta are volum zero și se transformă într-un patrulater. Lungimile marginilor vor fi lungimile laturilor sau diagonalelor patrulaterului.

Relațiile lui Bretschneider

Relațiile Bretschneider sunt raportul dintre laturile a, b, c, d și unghiurile și diagonalele opuse e, f ale unui patrulater simplu (neauto-intersectare): $\unghi A,\unghi C$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\unghi A+\unghi C)

e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\unghi A+\unghi C}{2))

e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\angle A+\angle C}{2))

Linii drepte speciale ale patrulaterului

Liniile de mijloc ale patrulaterului

Fie G, I, H, J punctele medii ale laturilor unui patrulater convex ABCD , iar E, F punctele mijlocii ale diagonalelor sale. Să numim trei segmente GH, IJ, EF, respectiv prima, a doua și a treia linie mediană a patrulaterului . Primele două dintre ele se mai numesc și bimediane [2] .

Teoreme pe liniile mediane ale unui patrulater

Teorema lui Newton generalizată . Toate cele trei linii de mijloc ale patrulaterului se intersectează într-un punct (la centrul de centru al vârfurilor („centrul de vârf”) al patrulaterului) și îl bisectează.
Punctele medii E și F ale celor două diagonale, precum și centroidul vârfurilor K ale patrulaterului convex, se află pe aceeași dreaptă EF . Această linie dreaptă se numește linia dreaptă a lui Newton .
Rețineți că linia Newton-Gauss coincide cu linia Newton , deoarece ambele trec prin punctele medii ale diagonalelor.
Teorema lui Varignon :
- Patraunghiuri GIHJ, EHFG, JEIF sunt paralelograme și se numesc paralelograme Varignon . Primul dintre ele îl vom numi marele paralelogram al lui Varignon
- Centrele acestor trei paralelograme Varignon sunt punctele de intersecție ale perechilor lor de diagonale.
- Centrele tuturor celor trei paralelograme Varignon se află în același punct - în mijlocul segmentului care leagă punctele medii ale laturilor patrulaterului original (în același punct, segmentele care leagă punctele medii ale laturilor opuse - diagonalele paralelogramului Varignon ) se intersectează.
- Perimetrul paralelogramului Varignon mare este egal cu suma diagonalelor patrulaterului original. $GIHJ$
- Aria paralelogramului Varignon mare este egală cu jumătate din aria patrulaterului original , adică $GIHJ$ $ABCD$ $S_{GIHJ}={\frac {1}{2}}S_{ABCD}$ .
- Aria patrulaterului original este egală cu produsul dintre prima și a doua linie mediană a patrulaterului și sinusul unghiului dintre ele, adică $ABCD$ $GH$ $IJ$ $\phi$ $S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi$ .
- Suma pătratelor celor trei linii de mijloc ale unui patrulater este egală cu un sfert din suma pătratelor tuturor laturilor și diagonalelor sale: $GH^{2}+IJ^{2}+EF^{2}={\frac {1}{4}}(AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{ 2}+BD^{2}+AC^{2})$ .
Formula lui Euler : de patru ori pătratul distanței dintre punctele mijlocii ale diagonalelor este egal cu suma pătratelor laturilor patrulaterului minus suma pătratelor diagonalelor acestuia.
Matematic, pentru figura din dreapta sus cu patrulaterul gri ABCD , formula lui Euler se scrie ca: $(2EF)^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}-BD^{2}-AC^{2}$ .

Linia lui Newton

Dacă într-un patrulater două perechi de laturi opuse nu sunt paralele, atunci cele două puncte medii ale diagonalelor sale se află pe o linie dreaptă care trece prin punctul de mijloc al segmentului care leagă cele două puncte de intersecție ale acestor două perechi de laturi opuse (punctele sunt prezentate în roșu în figură). Această linie dreaptă se numește linia dreaptă a lui Newton (este prezentată cu verde în figură). În acest caz , linia Newton este întotdeauna perpendiculară pe dreapta Auber .
Punctele situate pe dreapta lui Newton satisfac teorema lui Anna .

Liniile ortopolare ale ortopolilor triplelor vârfurilor unui patrulater

Dacă este dată o dreaptă fixă ℓ și se alege oricare dintre cele trei vârfuri ale patrulaterului , atunci toți ortopolii dreptei date ℓ în raport cu toate aceste triunghiuri se află pe aceeași linie dreaptă. Această linie se numește linie ortopolară pentru linia dată ℓ în raport cu patrulaterul [3] $ABCD$ $ABCD$

Puncte speciale ale patrulaterului

Centroid al unui patrulater

Patru segmente, dintre care fiecare leagă vârful patrulaterului cu centroidul triunghiului format din cele trei vârfuri rămase, se intersectează la centrul patrulaterului și îl împart într-un raport de 3:1, numărând de la vârfuri.
Vezi și proprietățile centroidului unui patrulater.

Punctul Poncelet al patrulaterului

Există un punct Poncelet în interiorul patrulaterului (vezi paragraful „Cercuri de nouă puncte de triunghiuri în interiorul patrulaterului”).

patrulaterul punctului lui Miquel

Există un punct Miquel în interiorul patrulaterului .

Cercuri de triunghiuri cu nouă puncte în cadrul unui patrulater

Într-un patrulater convex arbitrar , cercurile celor nouă puncte ale triunghiurilor , în care este împărțit cu două diagonale, se intersectează într-un punct - în punctul Poncelet [4] . $ABCD$ $ABC,BCD,CDA,DAB$

Cazuri speciale de patrulatere

Patrulatere înscrise

Ei spun că dacă un cerc poate fi circumscris lângă un patrulater , atunci patrulaterul este înscris în acest cerc și invers.
În special, patrulaterele înscrise într-un cerc sunt: dreptunghi , pătrat , trapez isoscel sau isoscel , antiparalelogram .
Teoreme pentru patrulatere înscrise :
- Două teoreme ale lui Ptolemeu . Pentru un patrulater simplu (neauto-intersectare) înscris într-un cerc, având lungimile perechilor de laturi opuse: a și c , b și d , precum și lungimile diagonalelor e și f , sunt valabile următoarele:

1) Prima teoremă a lui Ptolemeu

ef=ac+bd

; 2) A doua teoremă a lui Ptolemeu

${\frac {e}{f}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{a\cdot b+c\cdot d}}).$ În ultima formulă, perechile de laturi adiacente ale numărătorului a și d , b și c se sprijină cu capetele lor pe o diagonală de lungime e . O afirmație similară este valabilă pentru numitor.

3) Formule pentru lungimile diagonalelor (corolare ale primei și celei de-a doua teoreme ale lui Ptolemeu )

e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd)))

și

f={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc)))

- Teorema lui Monge asupra ortocentrului unui patrulater înscris. În ortocentrul H al acestui patrulater se intersectează 4 segmente de linie (4 antimedatrize [ 5] ) trasate din mijlocul a 4 laturi ale patrulaterului înscris perpendicular pe laturile opuse .
- Teoremă privind înscrierea într-un cerc a unei perechi de triunghiuri diagonale . Dacă într-un cerc este înscris un patrulater convex, atunci o pereche de triunghiuri în care patrulaterul este împărțit cu oricare dintre diagonalele sale (conexiunea cu cercurile triunghiului) sunt de asemenea înscrise în același cerc.
- Teorema celor patru mediatrice . Din ultima afirmație rezultă: dacă trei dintre cele patru mediatrice (sau perpendiculare mediane ) desenate pe laturile unui patrulater convex se intersectează într-un punct, atunci mediatria celei de-a patra laturi se intersectează și ea în același punct. Mai mult, un astfel de patrulater este înscris într-un anumit cerc, al cărui centru se află în punctul de intersecție al mediatricelor indicate [8] .

- Teoreme pe patru triunghiuri diagonale și cercurile lor înscrise [9] . Dacă desenăm o diagonală într-un patrulater înscris într-un cerc și înscriem două cercuri în cele două triunghiuri rezultate, atunci facem același lucru desenând a doua diagonală, atunci centrele celor patru cercuri formate sunt vârfurile dreptunghiului (adică , se află pe același cerc). Această teoremă se numește teorema japoneză . (vezi fig.). În plus, ortocentrii celor patru triunghiuri descrise aici sunt vârfurile unui patrulater asemănător patrulaterului original ABCD (adică se află și pe alt cerc, deoarece vârfurile patrulaterului original înscris se află pe un cerc). În cele din urmă, centroizii acestor patru triunghiuri se află pe al treilea cerc [10] .
- Teorema pe patru proiecții ale vârfurilor unui patrulater înscris pe diagonala sa [11] . Fie un patrulater înscris, fie baza perpendicularei coborâte de la vârf la diagonală ; punctele sunt definite în mod similar . Apoi punctele se află pe același cerc. $ABCD$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$
- Teorema lui Brocard . Centrul cercului circumscris în jurul patrulaterului este punctul de intersecție al înălțimilor triunghiului cu vârfurile la punctul de intersecție al diagonalelor și la punctele de intersecție ale laturilor opuse.

Criterii pentru patrulaterele înscrise :
- Primul criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Un cerc poate fi circumscris unui patrulater dacă și numai dacă suma unghiurilor opuse este de 180°, adică:

\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }

- Al doilea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Un cerc poate fi circumscris unui patrulater dacă și numai dacă orice pereche de laturile sale opuse este antiparalelă .

- Al treilea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Un patrulater convex (vezi figura din dreapta) format din patru drepte Miquel date este înscris într-un cerc dacă și numai dacă punctul Miquel M al patrulaterului se află pe linia care leagă două dintre cele șase puncte de intersecție ale dreptelor (cele care nu sunt vârfuri ale patrulaterului). Adică, când M se află pe EF .
- O linie dreaptă, antiparalelă cu latura triunghiului și care îl intersectează, decupează din acesta un patrulater, în jurul căruia poate fi întotdeauna circumscris un cerc.
- Al patrulea criteriu pentru ca un patrulater să fie înscris . Condiția în care combinarea a două triunghiuri cu o latură egală dă un patrulater înscris într-un cerc [12] . Astfel încât două triunghiuri cu triple lungimii laturilor (a, b, f) și respectiv (c, d, f), atunci când sunt combinate de-a lungul unei laturi comune cu lungimea egală cu f, dau ca rezultat un patrulater înscris într-un cerc. cu o succesiune de laturi ( a , b , c , d ), condiția [13] :84

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd))).

- Ultima condiție oferă o expresie pentru diagonala f a unui patrulater înscris într-un cerc în termenii lungimii celor patru laturi ale sale ( a , b , c , d ). Această formulă urmează imediat atunci când se înmulțesc și se echivalează unele cu altele părțile din stânga și din dreapta ale formulelor care exprimă esența primei și celei de a doua teoreme ale lui Ptolemeu (vezi mai sus).

Aria unui patrulater înscris într-un cerc :
- Aria unui patrulater înscris într-un cerc conform formulei lui Brahmagupta este [14] :

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd))),

unde p este semiperimetrul patrulaterului.

- Ultima formulă decurge din formula generală (1) din căsuța din paragraful „Zona”, dacă ține cont de faptul că $2\theta =\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$
- Ultima formulă este o generalizare a formulei lui Heron pentru cazul unui patrulater.
- Formula lui Brahmagupta pentru aria unui patrulater înscris într-un cerc poate fi scrisă în termenii determinantului [8] :

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))))$

Raza unui cerc circumscris unui patrulater:

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(pa)(pb)(pc)(pd)}} }$

Patrulatere înscrise cu diagonale perpendiculare

Teorema lui Brahmagupta . Pentru patrulaterele ortodiagonale înscrise, teorema lui Brahmagupta este valabilă : Dacă un patrulater înscris are diagonale perpendiculare care se intersectează într-un punct , atunci două perechi de $M$ antimediatrice ale sale trec prin punctul . $M$
Observație . În această teoremă, antimediatria [15] este înțeleasă ca un segment al patrulaterului din figura din dreapta (prin analogie cu bisectoarea perpendiculară (mediatria) pe latura triunghiului). Este perpendicular pe o latură și trece simultan prin mijlocul părții opuse a patrulaterului. $FE$
Teorema asupra cercului de opt puncte ale unui patrulater ortodiagonal . Există o teoremă binecunoscută: dacă diagonalele sunt perpendiculare într-un patrulater, atunci opt puncte se află pe un cerc ( cercul de opt puncte al patrulaterului ): punctele mijlocii ale laturilor și proiecțiile punctelor medii ale laturilor pe opus laturi [16] . Din această teoremă și teorema lui Brahmagupta rezultă că capetele a două perechi de antimediatrice (opt puncte) ale unui patrulater ortodiagonal înscris se află pe același cerc ( cerc de opt puncte ale patrulaterului ).
Patralatere ortodiagonale inscripționate parțial . Patralaterele ortodiagonale înscrise private înscrise într-un cerc sunt un pătrat , un deltoid cu o pereche de unghiuri opuse perpendiculare, un trapez ortodiagonal echilateral și altele.

Patrulatere descrise

Ei spun că, dacă un cerc poate fi înscris într-un patrulater , atunci patrulaterul este circumscris în jurul acestui cerc și invers.
Unele (dar nu toate) patrulatere au un cerc înscris. Se numesc patrulatere circumscrise .
- Patralatere particulare circumscrise unui cerc sunt: romb , pătrat , deltoid .
Criterii pentru descrierea patrulaterelor :
- Dintre proprietățile patrulaterelor descrise , cel mai important este că sumele laturilor opuse sunt egale. Această afirmație se numește teorema Pitot .
- Cu alte cuvinte, un patrulater convex este circumscris unui cerc dacă și numai dacă sumele lungimilor laturilor opuse sunt egale, adică: . $AB+CD=BC+AD$

Teoreme pentru patrulatere circumscrise :
- Teoremă pe două laturi egale ale unui unghi tangent la un cerc . Punctele de tangență ale cercului înscris cu patrulaterul decupează segmente egale din colțurile patrulaterului.
- Teoremă privind continuarea a două perechi de laturi opuse ale unui patrulater . Dacă un patrulater convex nu este nici trapez , nici paralelogram și este circumscris în jurul unui cerc, atunci o pereche de triunghiuri sunt circumscrise în jurul aceluiași cerc, care se obțin continuând cele două perechi de laturi opuse ale sale până când se intersectează (legătura cu cercurile triunghiului).
- Teorema pe patru bisectoare . Din ultima afirmație rezultă: dacă trei dintre cele patru bisectoare (sau bisectoare) desenate pentru unghiurile interne ale unui patrulater convex se intersectează într-un punct, atunci bisectoarea celui de-al patrulea unghi interior al acestuia se intersectează și ea în același punct. Mai mult, un astfel de patrulater este descris în jurul unui anumit cerc, al cărui centru se află în punctul de intersecție al bisectoarelor indicate [17] .
- Teorema lui Newton . Dacă un patrulater este înscris în jurul unui cerc, atunci centrul cercului său înscris se află pe linia lui Newton . O afirmație mai precisă este mai jos.
- Teorema lui Newton . În orice patrulater circumscris , cele două puncte medii ale diagonalelor și centrul cercului înscris se află pe aceeași linie dreaptă. Pe ea se află mijlocul segmentului cu capete în punctele de intersecție ale continuărilor laturilor opuse ale patrulaterului (dacă acestea nu sunt paralele). Această linie se numește linia lui Newton . În figură (al doilea grup de figuri de sus) este verde, diagonalele sunt roșii, segmentul cu capete în punctele de intersecție a continuărilor laturilor opuse ale patrulaterului este și el roșu.
- Teorema lui Brocard . Centrul cercului circumscris în jurul patrulaterului este punctul de intersecție al înălțimilor triunghiului cu vârfurile la punctul de intersecție al diagonalelor și la punctele de intersecție ale laturilor opuse.

Aria patrulaterului circumscris
- Condiția înseamnă că . $AB+CD=BC+AD$ $a+c=b+d$

Introducând conceptul de semiperimetru p , avem . Prin urmare, avem și . În continuare, puteți observa: Prin urmare, Apoi, conform formulei (1), în caseta din paragraful „Zona” avem $p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d$ $p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d$ $pa=c;pb=d;pc=a;pd=b.$ $(pa)(pb)(pc)(pd)=abcd.$

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }}=

$={\sqrt {abcd-abcd\cos ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd}}\sin \theta .$

- Deoarece patrulaterul este descris, aria lui este de asemenea egală cu jumătate din perimetrul p ori raza r a cercului înscris: . $S=pr$

Patrulatere înscris-circumscrise

Patrulaterele înscris-circumscrise sunt patrulatere care pot fi atât circumscrise unui cerc, cât și înscrise într-un cerc. Alte denumiri pentru ele sunt patrulatere bicentrice, patrulatere coard-tangente sau patrulatere cu cerc dublu.
Patralaterele private înscrise-circumscrise sunt un pătrat și un romboid cu o pereche de unghiuri opuse egale de 90 de grade.

Proprietăți

Criterii pentru înscrierea simultană și circumscripția unui patrulater
- Oricare dintre cele două condiții de mai jos, luate separat, este o condiție necesară , dar nu suficientă , pentru ca un patrulater convex dat să fie înscris-circumscris pentru unele cercuri:

AB+CD=BC+AD

și .

\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }

- Îndeplinirea ultimelor două condiții simultan pentru un patrulater convex este necesară și suficientă pentru ca acest patrulater să fie înscris-circumscris .

Teoreme pentru patrulatere înscris-circumscrise

- Teorema lui Fuss . Pentru razele R și respectiv r , ale cercurilor circumscrise și înscrise ale patrulaterului dat și distanța x dintre centrele și ale acestor cercuri (vezi fig.), este îndeplinită o relație care reprezintă un analog patrulater al teoremei lui Euler (există este o formulă Euler similară pentru un triunghi) [18] [19] [20 ] : $eu$ $O$

{\frac {1}{(R+x)^{2}}}+{\frac {1}{(Rx)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}}

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

x^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2)))

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2)))}}.

- Teorema . Următoarele trei condiții pentru un patrulater înscris-circumscris se referă la punctele în care un cerc înscris într-un patrulater tangent este tangent la laturi. Dacă cercul este tangent la laturile AB , BC , CD , DA în punctele W , X , Y , respectiv Z, atunci patrulaterul tangent ABCD este de asemenea circumscris dacă și numai dacă este îndeplinită oricare dintre următoarele trei condiții (vezi figura): [21 ]
- WY perpendicular pe XZ
- ${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
- ${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$ .
- teorema lui Poncelet . Pentru un patrulater înscris-circumscris, teorema Poncelet este valabilă .

Aria unui patrulater înscris-circumscris

- Dacă patrulaterul este atât înscris, cât și descris, atunci prin formula (1) în caseta din paragraful „Zona” avem: . $S={\sqrt {abcd))$
- Ultima formulă se obține din formula ariei din paragraful anterior pentru patrulaterul circumscris , având în vedere că (pentru patrulaterul înscris ). $S={\sqrt {abcd}}\sin \theta$ $\theta =90^{\circ };\sin 90^{0}=1$ $2\theta =~\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$
- Întrucât patrulaterul este circumscris, aria lui este de asemenea egală cu jumătate din perimetrul său p ori raza r a cercului înscris: . $S=pr$
- O altă formulă pentru aria unui patrulater înscris-circumscris:

S={\frac {p^{2}}{\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}+\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}+\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}+\operatorname {tg} {\frac {D}{2}}}}

Împărțirea laturilor unui patrulater tangent prin puncte de contact cu cercul

Cele opt „lungimi tangente” („e”, „f”, „g”, „h” din figura din dreapta) ale unui patrulater tangent sunt segmente de linie de la vârf la punctele în care cercul atinge laturile. Din fiecare vârf sunt două tangente la cercul de lungime egală (vezi figura).
Să notăm, de asemenea, cele două „coarde tangenţiale” („k” şi „l” în figură) ale patrulaterului tangent - acestea sunt segmente de linie care leagă puncte de pe laturile opuse, unde cercul atinge aceste laturi. Ele sunt, de asemenea, diagonalele unui „patrulater de contact” care are vârfuri în punctele de contact ale patrulaterului cu cercul. $ABCD$

Atunci aria patrulaterului înscris-circumscris este [21] :p.128

S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h),

precum și

S=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Dacă, în plus față de două coarde pentru tangentele k și l și diagonalele p și q , alte două bimediane m și n ale unui patrulater convex sunt introduse ca segmente de linii drepte care leagă punctele medii ale laturilor opuse, atunci aria inscripției -patrulaterul circumscris va fi egal cu [22]

S=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

S={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2)}}.

Patrulatere necircumscrise

Un patrulater necircumscris pentru un cerc

Un patrulater necircumscris este un patrulater convex ale cărui prelungiri ale tuturor celor patru laturi sunt tangente la cerc (în afara patrulaterului) [23] . Cercul se numește excerc . Centrul cercului se află la intersecția a șase bisectoare.
Nu există un cerc pentru fiecare patrulater. Dacă laturile opuse ale unui patrulater convex ABCD se intersectează în punctele E și F , atunci condiția pentru în afara descrierii acestuia este oricare dintre cele două condiții de mai jos:

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Un patrulater necircumscris pentru o parabolă

Parabola , descrisă pentru un patrulater . O astfel de parabolă există pentru orice patrulater convex și atinge toate cele 4 laturi ale patrulaterului dat (cadrilaterul) sau prelungirile lor. Directoarea sacoincide cu linia Auber-Steiner [24] .

Cadrilatere cu elemente perpendiculare

Mai jos sunt paragrafe pentru patrulatere cu perechi perpendiculare de elemente: cu 2 laturi perpendiculare și cu 2 diagonale perpendiculare.
Aceste patrulatere degenerează într-un triunghi dreptunghic , dacă lungimea unei laturi dorite (din cele 4 laturi ale lor), situată în apropierea unghiului drept sau sprijinită cu capetele pe acest unghi, tinde spre zero.

Cadrilatere cu laturile perpendiculare

Cadrilatere cu laturile opuse perpendiculare

Două laturi opuse ale unui patrulater sunt perpendiculare dacă și numai dacă suma pătratelor celorlalte două laturi opuse este egală cu suma pătratelor diagonalelor.
Dacă suma unghiurilor de la una dintre bazele trapezului este de 90°, atunci prelungirile laturilor laterale (opuse) se intersectează în unghi drept, iar segmentul care leagă punctele medii ale bazelor este egal cu jumătatea diferenței bazele.

Patrulatere cu 2 perechi de laturi adiacente perpendiculare

Dacă un patrulater convex are două perechi de laturi adiacente care sunt perpendiculare (adică două unghiuri opuse sunt drepte), atunci acest patrulater poate fi înscris într-un cerc. Mai mult, diametrul acestui cerc va fi diagonala pe care se sprijină la un capăt cele două perechi de laturi adiacente indicate.
Patralaterele private cu laturile perpendiculare sunt: dreptunghi , pătrat și trapez dreptunghiular .

Cadrilatere cu 3 laturi adiacente perpendiculare

Dacă un patrulater convex are 3 laturi adiacente perpendiculare (adică 2 unghiuri interne sunt drepte), atunci acest patrulater este un trapez dreptunghiular .

Cadrilatere cu diagonale perpendiculare

Patrulaterele cu diagonale perpendiculare se numesc patrulatere ortodiagonale .
Diagonalele unui patrulater sunt perpendiculare dacă și numai dacă sumele pătratelor laturilor opuse sunt egale.
Aria unui patrulater ortodiagonal este egală cu jumătate din produsul diagonalelor sale: . $S={\frac {1}{2}}ef$
Liniile mediane ale unui patrulater sunt egale dacă și numai dacă sumele pătratelor laturilor sale opuse sunt egale.
Antimediatria unui patrulater este un segment de linie care iese din mijlocul uneia dintre laturile sale și este perpendicular pe latura opusă.
Teorema lui Brahmagupta . Dacă un patrulater are diagonale perpendiculare și poate fi înscris într-un cerc, atunci cele patru antimediatrice ale sale se intersectează într-un punct. Mai mult, acest punct de intersecție al unui antimediatris este punctul de intersecție al diagonalelor sale.
Dacă un patrulater are diagonale perpendiculare și poate fi înscris într-un cerc, atunci pătratul cvadruplu al razei sale R este egal cu suma pătratelor oricărei perechi de laturile sale opuse: $a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4R^{2}.$
Dacă un patrulater are diagonale perpendiculare și poate fi circumscris unui anumit cerc, atunci produsele a două perechi de laturi opuse sunt egale: $ac=bd.$
Un paralelogram Varignon cu vârfuri la mijlocul laturilor unui patrulater ortodiagonal este un dreptunghi .
Dacă diagonalele sunt perpendiculare într-un patrulater, atunci opt puncte se află pe un cerc ( cercul de opt puncte al patrulaterului ): punctele mijlocii ale laturilor și proiecțiile punctelor mijlocii ale laturilor pe laturile opuse [16] .
Patralatere ortodiagonale deosebite sunt: romb , pătrat , deltoid .
Dacă un patrulater convex are diagonale perpendiculare, atunci punctele mijlocii ale celor patru laturi ale sale sunt vârfurile dreptunghiului (o consecință a teoremei lui Varignon ). Este adevărat și invers. În plus, diagonalele unui dreptunghi sunt egale. Prin urmare, diagonalele unui patrulater convex sunt perpendiculare dacă și numai dacă lungimile celor două bimediane ale sale (lungimile a două segmente care leagă punctele medii ale laturilor opuse) sunt egale [25] .
Tabel care compară proprietățile patrulaterului circumscris și ortodiagonal:

Proprietățile lor metrice sunt foarte asemănătoare (vezi tabelul) [25] . Aici sunt indicate: a , b , c , d - lungimile laturilor lor, R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , și razele cercurilor circumscrise trasate prin aceste laturi și prin punctul de intersecție al diagonalelor , h 1 , h 2 , h 3 , h 4 sunt înălţimile coborâte pe ele din punctul de intersecţie al diagonalelor .

patrulater circumscris	patrulater ortodiagonal
$a+c=b+d$	$a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2)$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 {h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

În plus, pentru medianele de pe laturile unui patrulater ortodiagonal, coborât din punctul de intersecție al diagonalelor , este adevărat: . ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2))$

Orice patrulater ortodiagonal poate fi înscris cu infinit de dreptunghiuri aparținând următoarelor două mulțimi:

(i) dreptunghiuri ale căror laturi sunt paralele cu diagonalele unui patrulater ortodiagonal (ii) dreptunghiuri definite de cercurile de puncte ale lui Pascal [26] [27] [28] .

Proprietățile diagonalelor unor patrulatere

Următorul tabel arată dacă diagonalele unora dintre cele mai elementare patrulatere au o bisectie în punctul lor de intersecție, dacă diagonalele sunt perpendiculare , dacă lungimile diagonalelor sunt egale și dacă bisectează unghiuri [29] . Lista se referă la cazurile cele mai generale și epuizează subseturile numite de patrulatere.

Patrulater	Împărțirea diagonalelor în jumătate în punctul lor de intersecție	Perpendicularitatea diagonalelor	Egalitatea lungimilor diagonalelor	Bisecția colțurilor prin diagonale
Trapez	Nu	Vezi nota 1	Nu	Nu
Trapez isoscel	Nu	Vezi nota 1	da	Cel puțin două colțuri opuse
Paralelogram	da	Nu	Nu	Nu
Deltoid	Vezi observația 2	da	Vezi observația 2	Vezi observația 2
Dreptunghi	da	Nu	da	Nu
Romb	da	da	Nu	da
Pătrat	da	da	da	da

Nota 1: Cele mai comune trapeze și trapeze isoscele nu au diagonale perpendiculare, dar există un număr infinit de trapeze (neasemănătoare) și trapeze isoscele care au diagonale perpendiculare și nu sunt ca orice alt patrulater numit .
Nota 2: Într-un deltoid, o diagonală o bisectează pe cealaltă. O altă diagonală își bisectează colțurile opuse. Cel mai comun deltoid are diagonale inegale, dar există un număr infinit de deltoizi (neasemănători) ale căror diagonale sunt egale ca lungime (și deltoizii nu sunt niciunul dintre celelalte patrulatere numite) .

Simetria patrulaterelor

Pe fig. sunt prezentate unele patrulatere simetrice, tranziția lor unul în celălalt, precum și dualii lor. Denumirile din fig.:

Zmeu (șarpe) - deltoid (romboid)
Paralelogram - paralelogram
patrulater neregulat - patrulater neregulat
Rhombus - romb
Dreptunghi - dreptunghi
Pătrat - pătrat
Gyrational Square - un pătrat rotativ
Isoscel Trapezoid - trapez isoscel

Zona

Aria unui patrulater convex arbitrar care nu se intersectează cu diagonale și un unghi între ele (sau extensiile lor) este egal cu: $S$ $d_{1}$ $d_{2}$ $\alfa$

$S={\frac {d_{1}d_{2}\sin \alpha }{2))$

Aria unui patrulater convex arbitrar este egală cu produsul dintre prima și a doua linie mediană a patrulaterului și sinusul unghiului dintre ele, adică $GH$ $IJ$ $\phi$

S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi

Observație . Prima și a doua linie mediană a unui patrulater sunt segmente care leagă punctele medii ale laturilor sale opuse.

Aria unui patrulater convex arbitrar este [14] :

16S^{2}=4d_{1}^{2}d_{2}^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\ dreapta)^{2}

, unde , sunt lungimile diagonalelor; a, b, c, d sunt lungimile laturilor.

d_{1}

d_{2}

Aria unui patrulater convex arbitrar este, de asemenea, egală cu

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }},$ (unu)

unde p este semiperimetrul și este jumătatea sumei unghiurilor opuse ale patrulaterului (Nu contează ce pereche de unghiuri opuse să ia, deoarece dacă jumătatea unei perechi de unghiuri opuse este egală cu , atunci jumatatea celorlalte doua unghiuri va fi si ). Din această formulă pentru patrulaterele înscrise urmează formula lui Brahmagupta . $\theta ={\frac {\unghi A+\unghi C}{2))$ $\theta$ $180^{\circ }-\theta$ $\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta$

Aria unui patrulater convex arbitrar conform formulei (1) din caseta de mai sus, ținând cont de una dintre relațiile Bretschneider (a se vedea mai sus), poate fi scrisă ca:

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstyle {1 \over 4}((ef)^{2}-(ac+bd)^{2)))))=$ $={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstyle {1 \over 4}(ef+ac+bd)(ef-ac-bd)))$ unde p este semiperimetrul, e și f sunt diagonalele patrulaterului.

Aria unui patrulater arbitrar care nu se intersectează, dată pe plan de coordonatele vârfurilor sale în ordinea traversării, este egală cu: $S$ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})$

$S={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{1}-x_{2})(y_{1}+y_{2})+(x_{2}-x_ {3})(y_{2}+y_{3})+(x_{3}-x_{4})(y_{3}+y_{4})+(x_{4}-x_{1}) (y_{4}+y_{1}){\mare |}$

Istorie

În antichitate, egiptenii și alte popoare foloseau o formulă incorectă pentru a determina aria unui patrulater - produsul semisumelor laturilor sale opuse a, b, c, d [30] :

S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}

Pentru patrulaterele nedreptunghiulare, această formulă oferă o suprafață supraestimată. Se poate presupune că a fost folosit doar pentru a determina suprafața terenurilor aproape dreptunghiulare. Cu măsurători inexacte ale laturilor unui dreptunghi, această formulă vă permite să îmbunătățiți acuratețea rezultatului prin medierea măsurătorilor inițiale.

Vezi și

Poligoane

După numărul de laturi

Monogon
Bigon
Triunghi
Patrulater
Pentagon
Hexagon
Heptagon
Octogon
pentagon
Decagon
Hendecagon
Dodecagonul
Treisprezece
tetradecagon
Pentagon
Hexagon
Şaptesprezece
octogon
Nouăsprezece agon
Dodecagonul
Douăzeci și una de părți
Douăzeci și doi de unghi
Twentytrigon
Douăzeci și patru de unghi
Douăzeci de pentagon
Douăzeci de octogon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Patruzeci de pătrați
Patruzeci de bicagon
penticostal
penticostal
Hexagon
Șaizeci și patru
Heptagon
Octogon
Nonagon
[ en
Millagon
Zece-mii de gon
Suta de mii
Milliogon
infinit

corect

convex	Triunghi Pătrat Pentagon Hexagon Heptagon Octogon pentagon tetradecagon Şaptesprezece 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stelat	Pentagramă Hexagrama Heptagramă Octagrama ( Steaua lui Lakshmi ) Eneagrama Decagram Endecagramă Dodecagramă

triunghiuri

Cadrilatere

Vezi si

Note

↑ Iakov Ponarin . Geometrie elementară. Volumul 1: Planimetrie, transformări plane . — Litri, 11-07-2018. - S. 52. - 312 p.
↑ EW Weisstein. bimedian . MathWorld - O resursă web Wolfram. (nedefinit)
↑ Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA
↑ Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , p. 118, sarcina 9.
↑ Pentru definiția antimedatris, vezi Glosarul de planimetrie
↑ Puncte și linii remarcabile de patrulatere// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
↑ Teorema lui Monge// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
↑ 1 2 Starikov, 2014 , p. 38, coloana din dreapta, punctul 7.
↑ Ayeme , p. 6, Ex. 8, fig. 13.
↑ Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads , Matematica Olympiad Treasures , Springer, p. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
↑ Ayeme , p. 5, Ex. 7, fig. 11, corolar.
↑ Vezi subsecțiunea „Diagonale” a articolului „ Patrulaterul înscris ”
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. co., 2007
↑ 1 2 Ponarin , p. 74.
↑ Starikov, 2014 , p. 7-39.
↑ 1 2 Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , p. 118, sarcina 11.
↑ Starikov, 2014 , p. 39, coloana din stânga, ultimul paragraf.
↑ Dorrie, Heinrich. 100 mari probleme de matematică elementară : istoria și soluțiile lor . - New York: Dover, 1965. - P. 188-193. — ISBN 978-0-486-61348-2 .
↑ Yiu, Paul, Euclidean Geometry , [1] (link nu este disponibil) , 1998, pp. 158-164.
↑ Salazar, Juan Carlos (2006), Teorema lui Fuss, Mathematical Gazette vol . 90 (iulie): 306–307 .
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2010), Characterizations of Bicentric Quadrilaterals , Forum Geometricorum vol . 10: 165–173 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf > .
↑ Josefsson, Martin (2011), The Area of a Bicentric Quadrilateral , Forum Geometricorum vol . 11: 155–164 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf > .
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , p. 33-52.
↑ Junko HIRAKAWA. Câteva teoreme asupra ortopolului. Jurnalul de matematică Tohoku, prima serie. 1933 Vol. 36. P. 253, Lema I// https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2012), Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals , Forum Geometricorum vol . 12: 13–25 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf > .
↑ David, Fraivert (2019), A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles , Journal for Geometry and Graphics Vol . 23: 5–27 , < http://www.heldermann.de/JGG /JGG23/JGG231/jgg23002.htm > .
↑ David, Fraivert (2017), Proprietățile unui cerc de puncte Pascal într-un patrulater cu diagonale perpendiculare , Forum Geometricorum vol. 17: 509–526 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf > .
↑ Freivert, D. M. (2019), A New Topic in Euclidean Geometry on the Plane: Theory of "Pascal Points" Formed by a Circle on the Sides of a Quadrilateral , Mathematical Education: State of the Art and Perspectives: Proceedings of the International Conferință științifică , < https://libr.msu.by/handle/123456789/9675 >
↑ Jennifer Kahle, Geometry: Basic ideas, Geometry: Basic ideas [2] , accesat 28 decembrie 2012.
↑ G. G. Zeiten Istoria matematicii în antichitate și în Evul Mediu, GTTI, M-L, 1932.

Literatură

Boltyansky V. , Quadrangle . Kvant , nr. 9, 1974.
Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M . : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .
Starikov V. N. Cercetare în geometrie // Culegere de publicații a revistei științifice Globus pe baza materialelor celei de-a V-a conferințe științifice-practice internaționale „Realizări și probleme ale științei moderne”, Sankt Petersburg: o colecție de articole (nivel standard, academic nivel) // Revista științifică Globus . - S-P., 2016.
Starikov V. N. Note de geometrie// Căutare științifică: științe umaniste și socio-economice: o colecție de lucrări științifice / Cap. ed. Romanova I. V. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - Emisiune. 1 .
Matematică în sarcini. Culegere de materiale din școlile de teren ale echipei de la Moscova pentru Olimpiada de Matematică All-Russian / Editat de A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov și A. V. Shapovalov .. - Moscova: MTsNMO, 2009 - ISBN 9405-5-- ISBN 9405-5 477-4 .
Jean-Louis Ayeme. teorema lui Feurbach. Un nou sintetic pur dovadă. (link indisponibil) . Preluat la 2 octombrie 2016. Arhivat din original la 13 noiembrie 2013. (Rusă) O traducere oarecum extinsă - „În jurul problemei lui Arhimede”
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. O condiție ca un patrulater tangențial să fie și unul cordal // Comunicații matematice. - 2007. - Emisiune. 12 .
D. Fraivert, A. Sigler și M. Stupel. Proprietăți comune ale trapezelor și patrulaterelor convexe // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 38 . — P. 49–71. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121635 .