Domeniul de aplicare a funcției

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 august 2021; verificarea necesită 1 editare .

Domeniul definirii este multimea pe care este definita functia . În fiecare punct al acestui set, trebuie determinată valoarea funcției.

Definiție

Dacă o funcție este definită pe o mulțime care mapează setul cu un alt set, atunci mulțimea se numește domeniul definiției sau domeniul funcției. $X$ $X$ $X$

Mai formal, dacă este dată o funcție care mapează o mulțime la , adică: , atunci mulțimea se numește domeniul definiției [1] sau domeniul setării [2] al funcției și se notează sau (din domeniul englezesc ). - „zonă”). $f$ $X$ $Y$ $f\coloan X\la Y$ $X$ $f$ $D(f)$ $\mathrm {dom} \,f$

Uneori sunt luate în considerare și funcțiile definite într-un subset al unui set . În acest caz, mulțimea se numește zona de plecare a funcției [3] . $D$ $X$ $X$ $f$

Exemple

Cele mai ilustrative exemple de domenii sunt oferite de funcțiile numerice . Măsura și funcționalitatea oferă, de asemenea, tipuri importante de domenii în aplicații.

Funcții numerice

Funcțiile numerice sunt funcții aparținând următoarelor două clase:

funcțiile cu valori reale ale unei variabile reale sunt funcții de forma ; $f\colon {\mathbb {R}}\la {\mathbb {R}}$
precum și funcții cu valori complexe ale unei variabile complexe de forma , $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$

unde și sunt mulțimile de numere reale și, respectiv, complexe. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Maparea identității

Sfera de aplicare a funcției este aceeași cu zona de origine ( sau ). $f(x)=x$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Funcția armonică

Domeniul funcției este planul complex fără zero: $f(x)=1/x$

{\mathrm {dom}}\,f={\mathbb {C}}\setminus \{0\}

deoarece formula nu stabilește valoarea funcției la zero la un anumit număr.

Funcții fracționale-raționale

Domeniul de aplicare al funcției de vizualizare

f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n} x^{n}}}

este linia reală sau planul complex, cu excepția unui număr finit de puncte, care sunt soluții ale ecuației

b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0

Aceste puncte se numesc polii funcției . $f$

Deci, funcția este definită în toate punctele în care numitorul nu dispare, adică unde . Astfel este mulțimea tuturor numerelor reale (sau complexe), cu excepția lui 2 și -2. $f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4))$ $x^{2}-4\neq 0$ $\mathrm {dom} \,f$

Măsură

Dacă fiecare punct al domeniului unei funcții este o mulțime, de exemplu, o submulțime a unei mulțimi date, atunci se spune că o funcție de set este dată .

O măsură este un exemplu de astfel de funcție, în care un anumit set de submulțimi ale unei mulțimi date, care este, de exemplu, un inel sau un semiring de mulțimi, acționează ca domeniul funcției (măsurii).

De exemplu, integrala definită este o funcție a unei intervale orientate .

Funcționalitate

Să fie o familie de mapări de la set la set . Apoi putem defini o mapare a formei . O astfel de mapare se numește funcțional . ${\mathbb {F}}=\{f\mid f\colon X\la {\mathbb {R}}\}$ $X$ $\mathbb {R}$ $F\colon {\mathbb {F}}\la {\mathbb {R}}$

Dacă, de exemplu, fixăm un punct , atunci putem defini o funcție care ia aceeași valoare în „punct” ca și funcția în sine în punctul . $x_{0}\în ~X$ $F(f)=f(x_{0})$ $f$ $f$ $x_{0}$

Vezi și

Gama de funcții

Note

↑ V. A. Sadovnichiy . Teoria operatorilor. - M . : Drofa, 2001. - S. 10. - 381 p. — ISBN 5-71-074297-X .
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sennov . Capitolul 3. Teoria limitelor // Analiza matematică / Ed. A. N. Tihonova . - Ed. a 3-a. , revizuit si suplimentare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 105-121. — 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ V. A. Zorich . Capitolul I. Câteva concepte matematice generale și notație. § 3. Funcţia // Analiză matematică. Partea I. - a patra, corectată. - M. : MTSNMO, 2002. - S. 12-14. — 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .

Literatură

Function, Dicţionar Enciclopedic Matematic . - Ch. ed. Yu. V. Prohorov. - M .: „Marea Enciclopedie Rusă”, 1995.
Klein F. Conceptul general de funcție . În: Matematică elementară dintr-un punct de vedere superior. T.1. M.-L., 1933
I. A. Lavrov şiL. L. Maksimova Partea I. Teoria mulțimilor// Probleme în teoria mulțimilor, logica matematică și teoria algoritmilor. -Ed. a 3-a. . -M.: Fizmatlit, 1995. - S. 13 - 21. - 256 p. —ISBN 5-02-014844-X.
A. N. Kolmogorov șiS. V. Fomin Capitolul 1. Elemente de teoria multimilor// Elemente de teoria functiilor si analiza functionala. -Ed. a 3-a. . -M.: Nauka, 1972. - S. 14 - 18. - 256 p.
J. L. Kelly . Capitolul 0. Preliminari// Topologie generală. -Ed. a II-a. . -M.: Nauka, 1981. - S. 19 - 27. - 423 p.
V. A. Zorich . Capitolul I. Câteva concepte matematice generale și notație. § 3. Funcţia// Analiza matematică, partea I. -M.: Nauka, 1981. - P. 23 - 36. - 544 p.
G. E. Shilov . Capitolul 2. Elemente de teoria multimilor. § 2.8. Conceptul general de funcție. Grafic// Analiză matematică (funcțiile unei variabile). -M.: Nauka, 1969. - S. 65 - 69. - 528 p.
A. N. Kolmogorov . Ce este o funcție // „Quantum” : științific-pop. Fiz.-Matematică. revistă - M . : "Nauka" , 1970. - Nr. 1 . - S. 27-36 . — ISSN 0130-2221 .