Aspect generalizat

Schema generalizată de aspect [ 1] [2] [3] a particulelor din celule este definită după cum urmează.

Definiție

Fie variabile aleatoare aleatoare întregi nenegative (r.v.) , a căror sumă este egală cu , să fie asociate cu r.v. independente de numere întregi nenegative. urmatorul raport: $\eta_1,\dots,\eta_N$ $n$ $\xi_1,\dots,\xi_N$

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\mathbb{P}\{\xi_1=k_1,\dots,\xi_N=k_N\;|\;\xi_1+\dots+ \xi_N=n\}\qquad(1)

pentru toate numerele întregi nenegative a căror sumă este egală cu . Apoi ei spun că r.v. formează o schemă generalizată de aspect (GSR). $k_1,\dots,k_N$ $n$ $\eta_1,\dots,\eta_N,\xi_1,\dots,\xi_N$

Dacă GSR este simetric, adică toate r.v. au aceeași distribuție, atunci probabilitatea din dreapta din (1) poate fi scrisă ca: $\xi_k$

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{p_{k_1}\dots p_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n} p_{j_1}\dots p_{j_N}},\qquad(2)

Unde $p_k=\mathbb{P}\{\xi_1=k\},\quad k=0,1,2\dots$

Tipuri de scheme

Aspect canonic

Cel mai frecvent caz de OCP este schema de alocare canonică , [4] pentru care

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{b_{k_1}\dots b_{k_N)){\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n} b_{j_1}\dots b_{j_N}},\qquad(3)

unde este o succesiune de numere nenegative astfel încât , raza de convergență a seriei este 1, iar treapta maximă a suportului șirului este 1. $b_0,b_1,\puncte$ $b_0>0$ $B(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_kx^k$ $b_0,b_1,\puncte$

La schema canonică printr-o transformare liniară a r.v. toate schemele de forma (3) sunt reduse fără restricțiile de mai sus asupra secvenței cu o singură condiție - o rază de convergență finită și diferită de zero . Schema (3) este în mod evident un caz particular al lui (2) și, prin urmare, (1). $\eta_1,\dots,\eta_N$ $\{b_k\}$ $B(x)$

Aspect clasic

Schema clasică de plasare (schema de plasare echiprobabilă a particulelor în celule), [2] în care

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{n!}{k_1!\dots\;k_N!N^n},

nu se reduce la canonic, deoarece raza de convergență este egală cu infinitul. Dar este un caz special de (2) (și, prin urmare, (1)). $B(x)=e^x$

Aplicație

Schemele de alocare de forma (1), (2) și (3) sunt un mijloc convenabil de a studia astfel de obiecte aleatorii precum pădurile Galton-Watson, [5] substituții aleatorii , [3] păduri recursive [6] , etc.

Vezi și

componentă gigantică

Literatură

↑ Kolchin V. F. Random mappings. — M .: Nauka, 1984.
↑ 1 2 Kolchin V. F., Sevastyanov B. A., Chistyakov V. P. Random placements. — M .: Nauka, 1976.
↑ 1 2 Kolchin V. F. Grafice aleatorii. — M .: Fizmatlit, 2000.
↑ Kazimirov N. I. Pădurile Galton-Watson și substituțiile aleatorii . - Dis. pentru o ucenicie Etapa. cand. f.-m.s. - Petrozavodsk, 2003. - 127 p. (link indisponibil)
↑ Pavlov Yu. L. Păduri aleatorii. — Utrecht, V.S.P. — 2000.
↑ Pavlov Yu. L., Loseva E. A. Limit distributions of the maximum size of a tree in a random recursive forest // Discrete Mathematics. - 2002. - T. 14 , nr 1 . - S. 60-74 .