Pendul invers

Un pendul inversat este un dispozitiv care este un pendul , care are un centru de masă deasupra punctului său de sprijin, fixat la capătul unei tije rigide. Adesea, punctul de sprijin este fixat pe un cărucior care se poate deplasa orizontal. În timp ce un pendul normal atârnă constant în jos, un pendul invers este în mod inerent instabil și trebuie să fie echilibrat în mod constant pentru a rămâne vertical, fie prin aplicarea unui cuplu la punctul de pivotare, fie prin deplasarea punctului de pivotare orizontal, ca parte a sistemului de feedback . Cea mai simplă demonstrație ar fi să echilibrezi un creion la capătul degetului.

Prezentare generală

Pendulul inversat este o problemă clasică în teoria dinamicii și controlului și este utilizat pe scară largă ca punct de referință pentru testarea algoritmilor de control ( controlere PID , rețele neuronale , control fuzzy etc.).

Problema pendulului invers este legată de ghidarea rachetei, deoarece motorul rachetei este situat sub centrul de greutate, provocând instabilitate. [1] Aceeași problemă este rezolvată, de exemplu, în Segway , un dispozitiv de transport cu autoechilibrare.

O altă modalitate de a stabiliza un pendul invers este de a balansa rapid baza într-un plan vertical. În acest caz, puteți face fără feedback. Dacă oscilațiile sunt suficient de puternice (în ceea ce privește accelerația și amplitudinea), atunci pendulul invers se poate stabiliza. Dacă punctul în mișcare oscilează în conformitate cu oscilații armonice simple , atunci mișcarea pendulului este descrisă de funcția Mathieu .

Ecuațiile mișcării

Cu un punct fix de sprijin

Ecuația mișcării este similară cu un pendul drept , cu excepția faptului că semnul poziției unghiulare este măsurat din poziția verticală a echilibrului instabil :

{\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0

Când este tradus, va avea același semn de accelerație unghiulară :

{\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta

Astfel, pendulul invers va accelera de la echilibrul vertical instabil în sens opus, iar accelerația va fi invers proporțională cu lungimea. Un pendul înalt cade mai încet decât unul scurt.

Pendul pe cărucior

Ecuațiile de mișcare pot fi derivate folosind ecuațiile lui Lagrange . Vorbim despre figura de mai sus, unde unghiul pendulului este lung față de verticală și forța care acționează gravitația și forțele externe în direcția . Determinați poziția căruciorului. Lagrangian al sistemului: $\theta (t)$ $l$ $F$ $X$ $x(t)$ $L=TV$

L={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta

unde este viteza căruciorului și este viteza punctului material . și poate fi exprimat în termeni și prin scrierea vitezei ca derivată întâi a poziției. $v_{1}$ $v_{2}$ $m$ $v_{1}$ $v_{2}$ $X$ $\theta$

v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2}

v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt)}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\ stânga({\frac {d}{dt}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}

Simplificarea expresiei are ca rezultat: $v_{2}$

v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^ {2}{\punct {\theta }}^{2}

Lagrangianul este acum definit prin formula:

L={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot { \theta ))\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta

și ecuațiile de mișcare:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {L} \over \ parțial x}=F

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}} - {\partial {L} \over \partial \theta }=0

Înlocuirea acestor expresii cu simplificarea ulterioară conduce la ecuații care descriu mișcarea unui pendul invers: $L$

\left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2 }\sin \theta =F

\ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta

Aceste ecuații sunt neliniare, dar deoarece scopul sistemului de control este de a menține pendulul vertical, ecuațiile pot fi liniarizate luând . $\theta \aproximativ 0$

Un pendul cu o bază oscilantă

Ecuația de mișcare pentru un astfel de pendul este legată de o bază oscilantă fără masă și se obține în același mod ca și pentru un pendul pe cărucior. Poziția punctului material este determinată de formula:

\left(-\ell \sin \theta, y+\ell \cos \theta \right)

iar viteza se găsește prin derivata întâi a poziției:

v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2} {\punct {\theta }}^{2}.

Lagrangianul pentru acest sistem poate fi scris ca:

L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\ sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)

ecuațiile de mișcare rezultă din:

{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta })} - {\partial {L} \over \partial \theta }=0

ca urmare:

\ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .

Dacă y fluctuează în conformitate cu vibrațiile armonice simple , atunci obținem ecuația diferențială : $y=A\sin \omega t$

{\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .

Această ecuație nu are o soluție elementară în formă închisă, dar poate fi studiată în mai multe direcții. Este aproape de ecuația Mathieu , de exemplu, când amplitudinea oscilației este mică. Analiza arată că pendulul rămâne vertical atunci când se balansează rapid. Primul grafic arată că, cu un pendul care oscilează lent , pendulul scade rapid după părăsirea unei poziții verticale stabile. Dacă oscilează rapid, atunci pendulul poate fi stabil în jurul poziției verticale. Cel de-al doilea grafic arată că, după părăsirea poziţiei verticale stabile, pendulul începe acum să oscileze în jurul poziţiei verticale ( ).Abaterea de la poziţia verticală rămâne mică şi pendulul nu cade. $y$
$y$ $\theta=0$

Aplicație

Un exemplu este echilibrarea oamenilor și a obiectelor, cum ar fi în acrobații sau în monociclul . Și, de asemenea, un segway - un scuter electric cu autoechilibrare cu două roți.

Pendulul inversat a fost o componentă centrală în dezvoltarea mai multor seismografe timpurii [2] .

Vezi și

monociclu cu auto-echilibrare
segway
pendul dublu invers
Pendul giroscopic
furuta pendul

Link -uri

↑ Stabilitatea rachetei (link descendent) . Consultat la 23 aprilie 2012. Arhivat din original pe 7 iunie 2013. (nedefinit)
↑ The Early History of Seismometry (până în 1900) (link nu este disponibil) . Preluat la 30 septembrie 2017. Arhivat din original la 27 august 2016. (nedefinit)

D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) pp. 89 și urm

Lectură suplimentară

Franklin; et al. (2005). Controlul prin feedback al sistemelor dinamice, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0