Accelerația unghiulară

Accelerația unghiulară
${\boldsymbol \varepsilon }={\frac {{\mathrm d}{\boldsymbol \omega }}({\mathrm d}t))={\boldsymbol {\dot \omega }}$
Unități
SI	rad / s 2
GHS	rad / s 2
Note
pseudovector

Accelerația unghiulară este o mărime fizică pseudovectorală egală cu derivata întâi a pseudovectorului vitezei unghiulare în raport cu timpul

${\vec {\varepsilon }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}.$

Accelerația unghiulară caracterizează intensitatea modificării modulului și direcția vitezei unghiulare în timpul mișcării unui corp rigid .

Cum se ajunge la conceptul de accelerație unghiulară: accelerația unui punct al unui corp rigid în mișcare liberă

La conceptul de accelerație unghiulară se poate ajunge luând în considerare calculul accelerației unui punct al unui corp rigid în mișcare liberă. Viteza unui punct al corpului aflat în mișcare liberă, conform formulei lui Euler , este egală cu $B$

${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\vec {AB)),$

unde este viteza punctului corpului luată ca stâlp; este pseudovectorul vitezei unghiulare a corpului; este un vector lansat de la pol până în punctul a cărui viteză este calculată. Diferențiând această expresie în funcție de timp și folosind formula Rivals [1] , avem ${\vec v}_{A}$ $A$ $\vec\omega$ ${\vec {AB}}$

${\vec {a_{B}}}={\vec {a_{A}}}+{\vec {\varepsilon }}\times {\vec {AB}}+{\vec {\omega } }\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {AB)))$

${\vec {a_{B}}}={\vec {a_{A}}}+{\vec {a_{BA}^{rot}}}+{\vec {a_{BA}^{ axă}}},$

unde este accelerația polului ; este pseudovectorul accelerației unghiulare. Componenta accelerației unui punct , calculată prin accelerația unghiulară se numește accelerația de rotație a punctului în jurul polului ${\vec a}_{A}$ $A$ ${\vec \varepsilon }={\frac {d{\vec \omega }}{dt}}$ $B$ $B$ $A$

${\vec {a}}_{BA}^{\,rot}={\vec {\varepsilon }}\times {\vec {AB}}.$

Ultimul termen din formula rezultată, care depinde de viteza unghiulară, se numește accelerație bruscă , accelerația unui punct în jurul polului. $B$ $A$

${\vec {a}}_{BA}^{\,axa}={\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {AB} }\dreapta).$

Semnificația geometrică a pseudovectorului de accelerație unghiulară

Pseudovectorul este direcționat tangențial la hodograful cu viteză unghiulară . Într-adevăr, luați în considerare două valori ale vectorului viteză unghiulară, la timp și la timp . Să estimăm modificarea vitezei unghiulare pentru intervalul de timp considerat ${\vec \varepsilon }$ $t$ $t+\Delta t$ $\Delta t$

$\Delta {\vec {\omega }}={\vec {\omega }}(t+\Delta t)-{\vec {\omega }}(t).$

Atribuim această modificare perioadei de timp în care a avut loc.

${\frac {\Delta {\vec {\omega }}}{\Delta t))={\vec {\varepsilon })^{\,\,'}.$

Vectorul rezultat se numește vector de accelerație unghiulară medie. Ocupă poziția unei secante, traversând hodograful vectorului viteză unghiulară în punctele și . Să mergem la limită la $M_{0}$ $M_{1}$ $\Delta t\la 0$

$\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {\omega }}}{\Delta t))={\frac {d{\vec {\omega })} {dt}}={\vec {\varepsilon }}.$

Vectorul accelerație unghiulară medie se va transforma în vectorul accelerație unghiulară instantanee și va lua poziția unei tangente într-un punct la hodograful vitezei unghiulare. $M_{0}$

Exprimarea vectorului de accelerație unghiulară în termeni de parametri ai rotației finale

Când se ia în considerare rotația corpului prin parametrii rotației finale, vectorul accelerației unghiulare poate fi scris prin formula

${\vec {\varepsilon }}=\left(1-\cos \varphi \right)\left({\vec {u}}\times {\frac {d^{2}{\vec {u} }}}{dt^{2}}}\right)+{\dot {\varphi }}\left(1+\cos \varphi \right){\frac {d{\vec {u}}}{dt }}+{\dot {\varphi }}\sin \varphi \left({\vec {u}}\times {\frac {d{\vec {u}}}{dt}}\right)+\sin \varphi \,{\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}+{\ddot {\varphi }}\,{\vec {u}},$

unde este vectorul unitar care specifică direcția axei de rotație; este unghiul prin care se face rotatia in jurul axei . $\vec u$ $\varphi$ $\vec u$

Accelerația unghiulară în timpul rotației unui corp în jurul unei axe fixe

Când corpul se rotește în jurul unei axe fixe care trece prin punctele fixe ale corpului și , derivatele vectorului unitar al axei de rotație sunt egale cu zero $O_{1}$ $O_{2}$

${\frac {d{\vec {u}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}=0.$

În acest caz, vectorul de accelerație unghiulară este determinat trivial în termenii derivatei a doua a unghiului de rotație

${\vec \varepsilon }={\ddot \varphi }\,{\vec u}$

${\vec {\varepsilon }}=\varepsilon \,{\vec {u)),$

unde este valoarea algebrică a accelerației unghiulare. În acest caz, pseudovectorul accelerației unghiulare, ca și viteza unghiulară, este direcționat de-a lungul axei de rotație a corpului. Dacă prima și a doua derivată ale unghiului de rotație au același semn $\varepsilon ={\ddot \varphi }$

( ), ${\dot \varphi }\,{\ddot \varphi }>0$

atunci vectorul accelerație unghiulară și vectorul viteză unghiulară coincid în direcție (corpul se rotește rapid). În caz contrar, la , vectorii viteză unghiulară și accelerație unghiulară sunt direcționați în direcții opuse (corpul se rotește încet). ${\dot \varphi }\,{\ddot \varphi <0$

În cursul mecanicii teoretice , abordarea este tradițională, în care conceptul de viteză unghiulară și accelerație unghiulară este introdus atunci când se ia în considerare rotația unui corp în jurul unei axe fixe. În acest caz, dependența de timp a unghiului de rotație al corpului este considerată drept legea mișcării

$\varphi =\varphi(t).$

În acest caz, legea de mișcare a punctului corpului poate fi exprimată într-un mod natural, ca lungimea arcului de cerc străbătut de punctul în care corpul se rotește dintr-o poziție inițială. $\varphi _{0}=\varphi (t_{0}).$

$s(t)=R\,\left(\varphi (t)-\varphi _{0}\right),$

unde este distanța de la punct la axa de rotație (raza cercului de-a lungul căruia se mișcă punctul). Diferențiând ultima relație în raport cu timpul, obținem viteza algebrică a punctului $R$

${\frac {ds}{dt}}=v_{\tau }=R\,{\frac {d\varphi {dt}}=\omega \,R,$

unde este valoarea algebrică a vitezei unghiulare. Accelerația unui punct al corpului în timpul rotației poate fi reprezentată ca suma geometrică a accelerației tangențiale și normale. $\omega ={\frac {d\varphi {dt}}$

${\vec {a}}_{M}={\vec {a}}_{M}^{\,\tau }+{\vec {a}}_{M}^{\,n },$

mai mult, accelerația tangențială se obține ca derivată a vitezei algebrice a punctului

$a_{M}^{\,\tau}={\frac {dv_{\tau}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\omega \,R\right )=R\,{\frac {d\omega }{dt))=\varepsilon \,R,$

unde este valoarea algebrică a accelerației unghiulare. Accelerația normală a unui punct de corp poate fi calculată folosind formulele $\varepsilon ={\frac {d\omega {dt}}={\frac {d^{2}\varphi {}dt^{2)}}$

$a_{M}^{\,n}={\frac {v_{\tau }^{2}}{R}}=\omega ^{2}\,R.$

Exprimarea pseudovectorului de accelerație unghiulară în termeni de tensor de rotație al corpului

Dacă rotația unui corp rigid este dată de un tensor de rang ( operator liniar ), exprimat, de exemplu, în termeni de parametrii de rotație finiți $\stanga(1,\,1\dreapta)$

$B_{\,m}^{\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}+\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k},$

unde este simbolul Kronecker ; este tensorul Levi-Civita , atunci pseudovectorul accelerației unghiulare poate fi calculat prin formula $\delta _{\,m}^{\,p)$ $\epsilon _{\,lkj)$

$\varepsilon ^{\,i}={\frac {1}{2}}\,\epsilon ^{ikl}\,g_{\,lp}\,\left(B_{\,m}^ {'\,p}\,{\ddot {B}}_{\,k}^{\,m}+{\dot {B}}_{\,m}^{'\,p}\, {\punct {B}}_{\,k}^{\,m}\dreapta),$

unde este tensorul de transformare inversă egal cu $B_{\,m}^{'\,p)$

$B_{\,m}^{'\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \ varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}-\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k} .$

Note

↑ V.I. Drong, V.V. Dubinin, M.M. Ilyin și alții; ed. K.S. Kolesnikova, V.V. Dubinin. Curs de mecanică teoretică: un manual pentru universități. - 2017. - S. 101, 111. - 580 p. - ISBN 978-5-7038-4568-4 .

Literatură

Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică - ed. a 10-a, revizuită. si suplimentare - M .: Mai sus. şcoală., 1986 - 416 p.
Pogorelov D. Yu. Introducere în modelarea dinamicii sistemelor corporale: manual. - Bryansk: BSTU, 1997. - 197 p.