Prescripţie

Mărginirea în matematică este o proprietate a mulțimilor , indicând caracterul finit al mărimii în contextul determinat de categoria spațiului.

Conceptul inițial este o mulțime de numere limitate , așa este mulțimea de numere reale , pentru care există numere astfel încât pentru oricare dintre ele are loc: , cu alte cuvinte, se află în întregime în segment . Numerele și sunt numite în acest caz limitele inferioare și , respectiv, superioare ale mulțimii . Dacă există doar o limită inferioară sau superioară, atunci se vorbește despre o mulțime mărginită dedesubt sau , respectiv, mărginită deasupra . $B\subset \mathbb {R}$ $m,M\in \mathbb {R}$ $X$ $B$ $m\leqslant x\leqslant M$ $B$ $[m,M]$ $m$ $M$ $X$

O mulțime numerică mărginită deasupra are o limită superioară exactă , mărginită de jos are o limită inferioară exactă (teorema marginii). O mulțime finită de puncte, un interval al axei numerice (unde sunt numere finite), o uniune finită de mulțimi mărginite - mulțimi mărginite; multimea numerelor intregi este nelimitata; mulţimea numerelor naturale din punct de vedere al sistemului de numere reale este mărginită de jos şi nemărginită de sus. $[a,b]$ $a,b$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$

O funcție numerică mărginită este o funcție al cărei interval de valori estelimitat, adică există astfelîncâtinegalitatea să fie valabilă. În special, o secvență numerică mărginită este o secvență pentru care existăastfelîncât. $f\colon D\to \mathbb {R}$ $f(D)$ $m$ $X$ $|f(x)|\leqslant m$ $(a_{i})$ $m\in \mathbb {R}$ $i \în \N$ $|a_{i}|\leqslant m$

Generalizări

Generalizările mărginirii numerice la categorii mai generale de spații pot diferi. Astfel, la submulțimi de mulțimi arbitrare parțial ordonate, definiția numerică se transferă într-un mod natural (deoarece definiția necesită doar relația de ordine ).

Într -un spațiu vectorial topologic peste un câmp , orice mulțime absorbită de orice vecinătate a lui zero este considerată mărginită , adică dacă există astfel încât . Operatorul mărginit pe spațiile vectoriale topologice duce mulțimile mărginite la cele mărginite. $E$ $k$ $B$ $\alpha \in k$ $B\subset \alpha U_{0)$

În cazul unui spațiu metric arbitrar , seturile de diametru finit sunt considerate mărginite , adică mărginite, dacă bineînțeles. În același timp, este imposibil să se introducă conceptele de mărginire superioară și inferioară în spațiile metrice generale. $(M,d)$ $B\subseteq M$ $\mathrm {sup} \{d(x,y)\mid {x,y\in B}\)$

Un concept mai special care se extinde la spațiile metrice arbitrare este mărginirea completă ; în cazul mulţimilor numerice şi în spaţiile euclidiene, această noţiune coincide cu noţiunile corespunzătoare de mulţime mărginită. În spațiile metrice, compactitatea topologică este echivalentă cu a fi complet mărginită și completă în același timp și, deși conceptul de mărginire nu se extinde la spații topologice arbitrare , compactitatea în cazul general poate fi considerată un analog al mărginirii.

Literatură

Set delimitat - Enciclopedia de matematică articol . M. I. Voitsekhovsky