Coențe incomplete limitate

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 iulie 2021; verificarea necesită 1 editare .

În matematică , se spune că un număr real are coeficiente parțiale mărginite dacă, atunci când este extins într-o fracție continuă , coeficientii parțiali nu iau valori arbitrar de mari.

Definiție

lovitură de lanț

x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_ {2}+\puncte}}}}}

are coeficiente incomplete mărginite dacă există un număr astfel încât pentru orice . $c$ $a_{i}\leq c$ $i\geq 0$

Proprietăți

orice fracție continuă periodică are coeficiente parțiale mărginite;

dacă are coeficiente incomplete mărginite, atunci în reprezentarea binară a valorii funcției Minkowski la un punct , distanța dintre cele adiacente este mărginită (în acest context, o mulțime de astfel de numere poate fi înțeleasă ca o generalizare largă a ideii de construirea unui set Cantor ). $X$ $X$

Ipoteza lui Zaremba

Expansiunea continuă a fracțiunii unui număr rațional este întotdeauna finită, astfel încât toți coeficientii săi parțiali sunt mărginiți de cel mai mare dintre ei. Prin urmare, de interes deosebit este întrebarea dacă este posibil să se impună restricții uniforme asupra fracțiilor incomplete ale majorității numerelor raționale. A fost regizat de Stanislav Zaremba în 1972.

ipoteza lui Zaremba

Există o constantă absolută astfel încât pentru fiecare numitor există un numărător astfel încât părțile parțiale ale fracției ireductibile $c$ $q\in {\mathbb {N} }$ $a<q$ $(a,q)=1$

{\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]

limitat de inegalitate $a_{i}\leq c,\i=1,\dots ,s$

Burgain și Kontorovich au dovedit conjectura pentru setul de numere de densitate 1. [1] Pentru valori mici ale setului constant și separat de valori admisibile , limite inferioare mai slabe ale distribuțiilor acestora . [2] $q$ $c$ $a_{i}$ $q$

Literatură

J. Bourgain, A. Kontorovich. Despre conjectura lui Zaremba // Analele matematicii. - 2014. - Vol. 180 . - P. 137-196 .

I. D. Kan. Consolidarea teoremei Bourgain–Kontorovich. IV // Proceedings of the Russian Academy of Sciences. - 2016. - T. 80 , nr. 6 . — S. 103–126 . (Rusă)

Note

↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 .
↑ Vezi Kahn, 2016 și alte lucrări din aceeași serie.