Funcția Minkowski

Funcția „semn de întrebare” a lui Minkowski este o funcție singulară monotonă construită de Hermann Minkowski pe intervalul , care are o serie de proprietăți remarcabile. Deci, convertește iraționalitățile pătratice (adică numerele de forma unde și raționale) de pe un segment în numere raționale de pe același segment și numerele raționale în raționale diadice , unu-la-unu și păstrând ordinea . Este legat de seria Farey , fracțiile continuate și transformările liniar-fracționale , iar graficul său are o serie de simetrii interesante. $?(X)$ $[0, 1]$ $a+{\sqrt {b)),$ $A$ $b$ $[0, 1]$

Clădire

Funcția Minkowski poate fi specificată în mai multe moduri echivalente: prin seria Farey, prin fracții continue și prin reprezentare grafică folosind iterații succesive.

Căutare cu ajutorul copacului Stern - Brokaw

La capetele segmentului, funcția Minkowski este dată ca și . După aceea, pentru oricare două numere raționale și , pentru care - cu alte cuvinte, pentru oricare două consecutive din oricare dintre seria Farey - funcția din mediana lor este definită ca media aritmetică a valorilor din aceste puncte: $?(0)=0$ $?(1)=1$ ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {c}{d))$ $ad-bc=1$ ${\frac {a+c}{b+d)}$

?\left({\frac {a+c}{b+d}}\right)={\frac {1}{2}}\left[?\left({\frac {a}{b }}\dreapta)+{}?\stânga({\frac {c}{d}}\dreapta)\dreapta].

Asa de

?\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {?(0)+{}?(1)}{2}}={\frac {1}{2} }},

?\left({\frac {1}{3}}\right)={\frac {?(0)+{}?(1/2)}{2}}={\frac {1} {patru}},

?\left({\frac {2}{3}}\right)={\frac {?(1/2)+{}?(1)}{2}}={\frac {3} {patru}}

si asa mai departe.

Din moment ce secvenţele

{\frac {0}{1)),{\frac {1}{1)),

{\frac {0}{1)),{\frac {1}{2)),{\frac {1}{1)),

{\frac {0}{1)),{\frac {1}{3)),{\frac {1}{2)),{\frac {2}{3)),{\frac {1}{1}},

în care următorul se obține din cel precedent prin adăugarea medianților lor între fiecare dintre elementele sale vecine, enumerați în unire toate numerele raționale ale segmentului (vezi arborele Stern-Broko ), o astfel de procedură iterativă stabilește funcția Minkowski în toate punctele raţionale . Mai mult, așa cum este ușor de văzut, setul valorilor sale în aceste puncte este exact toate numerele raționale diadice - cu alte cuvinte, o mulțime densă. Prin urmare, monotonitatea funcției construite se extinde în mod unic la o funcție continuă , iar aceasta este funcția Minkowski. $[0, 1]$ $[0, 1]$ $[0, 1]$ $[0, 1]$ $?\colon [0,1]\to [0,1]$

Provocare cu fracțiune continuă

Funcția Minkowski, într-un anumit sens, transformă o expansiune continuă a fracției într-o reprezentare binară. Și anume, punctul care se extinde într-o fracție continuă ca , funcția Minkowski se traduce în $x\in [0,1]$ $x=[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$

?(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{2^{a_{1}+\ldots +a_{ k}-1}}}.

Cu alte cuvinte, ideea

x={\frac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+\ldots ))))))

merge la obiect

?(x)=0{,}\underbrace {0\ldots 0} _{a_{1}-1}\underbrace {1\ldots 1} _{a_{2)}\underbrace {0\ldots 0} _{a_{3}}\underbrace {1\ldots 1} _{a_{4}}\ldots _{(2)}.

Auto-asemănarea

Fie punctul dat de o fracție continuă . Apoi creșterea cu unu, adică trecerea la este dată de mapare $x\in [0,1]$ $x=[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$ $a_{1}$ $y=[0;a_{1}+1,a_{2},\ldots ]$

f\colon x\mapsto y={\frac {1}{1+{\dfrac {1}{x})))={\frac {x}{1+x)),

iar funcția Minkowski după o astfel de transformare este împărțită (după cum urmează din atribuirea ei prin fracțiunea continuă a argumentului) la jumătate:

?\left({\frac {x}{1+x}}\right)={\frac {?(x)}{2}}.\qquad (1)

Pe de altă parte, este ușor de observat din simetria față de construcția mediantă că $1/2$

?(1-x)=1-{}?(x).\qquad (2)

Conjugând (1) cu ajutorul lui (2), vedem că sub acțiunea mapării , funcția Minkowski se transformă ca $g(x)=1-f(1-x)=1-{\frac {1-x}{2-x}}={\frac {1}{2-x}}$

?\left({\frac {1}{2-x}}\right)={\frac {1+{}?(x)}{2}}.

Prin urmare, graficul funcției Minkowski este tradus în sine prin fiecare dintre transformări

F(x,t)=\left({\frac {x}{1+x)),{\frac {t}{2}}\dreapta),\quad G(x,t)=\ stânga({\frac {1}{2-x)),{\frac {1+t}{2}}\dreapta).\qquad (3)

Mai mult decât atât, unirea imaginilor lor este exact întregul grafic original, deoarece imaginea este o parte a graficului peste segment , iar imaginea este graficul peste segment . $F$ $[0,1/2]$ $G$ $[1/2,1]$

Trasarea unei diagrame ca fractal

Graficul funcției Minkowski poate fi construit ca un set de limite pentru un sistem de funcții iterate . Și anume, mapările și date prin formulele (3) păstrează graficul funcției Minkowski și transformă pătratul unității în sine. Prin urmare, succesiunea de mulțimi definită recursiv de relații $F$ $G$ $X_n$

X_{0}=[0,1]\times [0,1],\quad X_{n+1}=F(X_{n})\cup G(X_{n}),

este o succesiune de mulțimi descrescătoare în raport cu încorporarea, iar graficul funcției Minkowski este conținut în oricare dintre ele. $\Gamma ={\big \{}{\big (}x,?(x){\big )}\mid x\in [0,1]{\big \))$

Este ușor de văzut care este uniunea dreptunghiurilor de înălțime , deci limita stabilită $X_n$ $1/2^{n}$

X_{\infty }=\bigcap _{n}X_{n}

este graficul unei funcții. Pentru că sunt la fel. Prin urmare, graficul funcției Minkowski este mulțimea limită a sistemului de funcții iterate $\Gamma \subset X_{\infty }$

F,G:[0,1]^{2}\la [0,1]^{2}.

Proprietăți

Funcția Minkowski este singulară, adică în aproape orice punct (în măsura Lebesgue ) , derivata ei există și este egală cu zero. Astfel, măsura pe a cărei funcție de distribuție este funcția Minkowski (extinsă cu zero la numere negative și cu unu la unități mari) este singulară . $x\in [0,1]$ $[0, 1]$
Funcția Minkowski one-to-one convertește numerele raționale de pe un segment în numere raționale diadice de pe același segment. $[0, 1]$
Funcția Minkowski one-to-one mapează iraționalitățile pătratice de pe un segment cu numerele raționale de pe același segment. Într-adevăr, un număr este o iraționalitate pătratică dacă și numai dacă expansiunea lui într-o fracție continuă, începând de la un moment dat, este periodică; pe de altă parte, această periodicitate este echivalentă cu periodicitatea notației binare a imaginii - cu alte cuvinte, raționalitate . $[0, 1]$ $X$ $?(X)$
Graficul funcției Minkowski este tradus în sine prin mapări și dat de (3) și, în consecință, prin compozițiile lor. $F$ $G$

Literatură

Minkowski H. Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker Congresses la Heidelberg. - Berlin, 1904.
Denjoy A. Sur une fonction reelle de Minkowski. — Journal de Mathematiques Pures et Appliques. - 1938. - 17. - pp. 105-151.
Conley, RM (2003), A Survey of the Minkowski ?(x) Function , teză de master, Universitatea Virginia de Vest , ref .
Conway, JH (2000), Fracțiuni contorsionate, Despre numere și jocuri (ed. a doua), Wellesley, MA: A.K. Peters, p. 82-86 .
Kirillov A. A. O poveste a doi fractali. — M.: MTsNMO, 2009.

Vezi și

scara lui Cantor

Link -uri

Weisstein, Eric W. Minkowski's Question Mark Function (în engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .