Determinant gram

Determinantul Gram ( Gramian ) al unui sistem de vectori din spațiul euclidian este determinantul matricei Gram a acestui sistem: $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

\begin{vmatrix} \langle e_1,\;e_1\rangle & \langle e_1,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,\;e_n\rangle \\ \langle e_2,\;e_1\rangle & \ langle e_2,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,\;e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n,\;e_1\rangle & \langle e_n, \;e_2\rangle & \ldots & \langle e_n,\;e_n\rangle \\ \end{vmatrix},

unde este produsul scalar al vectorilor și . $\langle e_i,\;e_j\rangle$ $\mathbf{e}_i$ $\mathbf{e}_j$

Matricea Gram rezultă din următoarea problemă de algebră liniară:

Fie sistemul de vectori din spațiul euclidian să genereze un subspațiu . Știind care sunt produsele scalare ale vectorului cu fiecare dintre acești vectori, găsiți coeficienții de expansiune a vectorului prin vectori . $V$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ $U$ $\mathbf {x}$ $U$ $X$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

Pe baza descompunerii

\mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\ldots+x_n\mathbf{e}_n,

se obține un sistem liniar de ecuații cu o matrice Gram:

{\begin{cases}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{1} ,\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n }=\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\ rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{2} ,\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\quad \ldots \quad \ ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf { e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle .\\ \end{cazuri}}

Această problemă este rezolvabilă în mod unic dacă și numai dacă vectorii sunt independenți liniar. Prin urmare, dispariția determinantului Gram al unui sistem de vectori este un criteriu pentru dependența lor liniară. $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

Sensul geometric al determinantului lui Gram

Sensul geometric al determinantului Gram este relevat la rezolvarea următoarei probleme:

Fie sistemul de vectori din spațiul euclidian să genereze un subspațiu . Cunoscând produsele scalare ale vectorului de la fiecare dintre acești vectori, găsiți distanța de la până la . $V$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ $U$ $\mathbf {x}$ $V$ $\mathbf {x}$ $U$

Minimul distanțelor pe toți vectorii de la este atins pe proiecția ortogonală a vectorului pe . În acest caz , unde vectorul este perpendicular pe toți vectorii de la , iar distanța de la până la este egală cu modulul vectorului . Pentru un vector , problema expansiunii (vezi mai sus) în termeni de vectori este rezolvată, iar soluția sistemului rezultat este scrisă conform regulii lui Cramer : $|\mathbf{x}-\mathbf{u}|$ $\mathbf {u}$ $U$ $\mathbf {x}$ $U$ $\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{n}$ $\mathbf {n}$ $U$ $\mathbf {x}$ $U$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

\mathbf{u}=-\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1, \;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x} \rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\ mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf {e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{0} \end{vmatrix},

unde este determinantul Gram al sistemului. Vectorul este: $\Gamma$ $\mathbf {n}$

\mathbf{n}=\mathbf{x}-\mathbf{u}=\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\ rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{ e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e }_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e} _2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{ e}_1 și \mathbf{e}_2 și \ldots și \mathbf{e}_n și \mathbf{x} \end{vmatrix}

iar pătratul modulului său este

|\mathbf{n}|^2=\langle\mathbf{n},\;\mathbf{x}\rangle=\frac{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2, \;\ldots,\;\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x})}{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\; \mathbf{e}_n)}.

Din această formulă, prin inducție pe , obținem următoarea afirmație: $n$

Determinantul Gram al unui sistem de vectori este egal cu pătratul volumului paralelipipedului -dimensional acoperit de acești vectori. Aceasta arată că, în cazul unui spațiu tridimensional, determinantul Gram al celor trei vectori este egal cu pătratul produsului lor mixt . $n$ $n$

Vezi și

Procesul Gram-Schmidt