Oscilator Van der Pol

Oscilatorul Van der Pol este un oscilator amortizat neliniar care respectă ecuația

{d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0

, Unde

X

este coordonata punctului, în funcție de timp ;

t

\mu

este coeficientul care caracterizează neliniaritatea și forța de amortizare a oscilațiilor.

Istorie

Oscilatorul Van der Pol a fost propus de inginerul și fizicianul olandez Balthasar van der Pol în timp ce era la Philips . [1] Van der Pol a găsit oscilații stabile, care au fost numite oscilații de relaxare, [ 2] cunoscute sub denumirea de „cicluri limită” . , care sunt întotdeauna apropiate de frecvențele naturale ale undelor. Aceasta a fost una dintre primele observații ale haosului determinist . [patru]

Ecuația Van der Pol este folosită atât în fizică , cât și în biologie . Astfel, de exemplu, în biologie, a fost creat modelul Fitz Hugh-Nagumo, această ecuație a fost folosită și în seismologie pentru a modela erorile geologice . [5]

Caz bidimensional

Folosind teorema lui Liénard, se poate demonstra că sistemul are un ciclu limită. Din această teoremă rezultă că . Din aceasta putem deriva [6] ecuațiile oscilatorului van der Pol pentru cazul bidimensional: $y=x-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}$

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\ \{\frac {dy}{dt}}&={\frac {1}{\mu }}x\end{aliniat}}\right.

De asemenea, puteți face o altă înlocuire și obțineți $y={\frac {dx}{dt))$

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y\\{\frac {dy}{dt}}&=\mu (1-x^{2})yx\ sfârşit{aliniat}}\dreapta.

Oscilator cu vibrații libere

Oscilatorul Van der Pol are două moduri interesante: at și at . Este evident că al treilea mod - - nu există, deoarece atenuarea în sistem nu poate fi negativă. $\mu=0$ $\mu>0$ $\mu<0$

1) Când , adică oscilatorul este calculat fără amortizare, atunci ecuațiile de mai sus sunt convertite în forma

\mu=0

{d^{2}x \over dt^{2}}+x=0

. Aceasta este ecuația unui oscilator armonic . 2) Pentru , sistemul are anumite cicluri limită. Cu cât este mai departe de zero, cu atât oscilațiile oscilatorului sunt mai puțin similare cu cele armonice.

\mu>0

\mu

Vibrații forțate

Oscilațiile forțate ale oscilatorului Van der Pol, atât cu pierderi de energie, cât și fără pierderi de energie, sunt calculate prin formula

{d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=A\sin(\omega t)

, Unde

A

este amplitudinea semnalului armonic extern,

\omega

este frecvența sa unghiulară.

Note

^ Cartwright, ML, „Balthazar van der Pol” Arhivat la 18 octombrie 2019 la Wayback Machine , J. London Math. soc. 35 , 367-376 (1960).
↑ Van der Pol, B., „On relaxation-oscillations”, The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. de Sci. , 2 (7), 978-992 (1927).
↑ Van der Pol, B. și Van der Mark, J., „Frequency demultiplication”, Nature , 120 , 363-364, (1927).
↑ Kanamaru, T., „Van der Pol oscillator” Arhivat la 9 iulie 2009 la Wayback Machine , Scholarpedia , 2 (1), 2202, (2007).
↑ Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. și Piro, O., „Dynamics of elastic excitable media”, Internat. J. Bifur. ChaosAppl. sci. ingr. , 9 , 2197-2202, (1999).
↑ Kaplan, D. și Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics , Springer, 240-244, (1995)

Vezi și

Link -uri

Exemple de portrete de fază ale unui oscilator .