Raport

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 9 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Raportul în matematică (raport, proporție) este relația dintre două valori numerice omogene [1] . De obicei exprimat ca „ a la b ” sau uneori exprimat aritmetic ca rezultat (nu neapărat un întreg ) al împărțirii a două valori numerice [2] , reprezentând direct de câte ori primul număr îl conține pe al doilea [3] .

Mai simplu spus, raportul arată că pentru fiecare cantitate dintr-un singur lucru, există cât de mult din altceva. De exemplu, să presupunem că cineva are 8 portocale și 6 lămâi într-un vas cu fructe, raportul portocale la lămâi este de 8:6 (sau echivalent 4:3) și raportul dintre lămâi și portocale este de 3:4. În plus, numărul de portocale raportat la numărul total de fructe va fi de 4:7 (echivalent cu 8:14). Un raport de 4:7 poate fi convertit într-o fracțiune de 4/7, arătând ce proporție din numărul total de fructe sunt portocale.

Denumiri și termeni

Raportul numerelor A și B poate fi reprezentat ca: [2]

în plus, de regulă, rapoartele sunt scrise ca rapoarte ale numerelor întregi, iar în acest caz raportul numerelor A și B este, de asemenea,

Numerele A și B în acest context sunt uneori numite termeni (termeni), unde A  este antecedentul și B  este consecința .

Proporția care exprimă egalitatea rapoartelor A  : B și C  : D se scrie A  : B = C  : D sau A  : B ∷ C  : D . Citeste:

A este pentru B ca C este pentru D.

Și în acest caz A , B , C , D sunt numiți membri ai proporției. A și D  sunt termenii extremi ai proporției, iar B și C  sunt termenii de mijloc .

Uneori se pot scrie în proporții trei sau mai mulți termeni. De exemplu, dimensiunile unui obiect cu o secțiune de doi până la patru și o lungime de zece centimetri vor fi 2: 4: 10. Egalitatea a trei sau mai multe rapoarte se numește proporție continuă ( proporția continuă în engleză  - o serie de rapoarte ). [2]

Istorie și etimologie

Este imposibil de urmărit originile conceptului de raport, deoarece ideile din care s-a dezvoltat trebuie să fi fost cunoscute culturilor pre-alfabetizate. De exemplu, ideea că un sat este de două ori mai mare decât altul este atât de elementară încât chiar și o societate preistorică ar fi înțeles-o. [patru]

Pentru a desemna relația, grecii au folosit termenul alt grec. λόγος , pe care latinii l-au redat ca ratio („rațiune rezonabilă”; ca în cuvântul „rațional”) sau ca proportio . (Un număr rațional poate fi considerat ca rezultat al raportului a două numere întregi.) O interpretare mai modernă a sensului antic este mai aproape de „calcul” sau „calcul”. [3] Boethius („Fundamentals of Arithmetic”, „Fundamentals of Music”, începutul secolului al VI-lea) a folosit cuvântul proportio (împreună cu ratio , comparatio și habitudo ) pentru a desemna ratio și proportionalitas (traducerea altor grecești. ἀναλογία ) pentru a desemna proporție . ( relații de relație) [5] . Această terminologie (datorită utilizării pe scară largă a Aritmeticii și Muzicii de către Boethius) a fost practicată și în Evul Mediu.

Euclid combinat în Elementele rezultă din surse anterioare. Pitagoreii au dezvoltat teoria raportului și proporției aplicată numerelor [6] . Conceptul pitagoreic de număr a inclus doar numere raționale , ceea ce a ridicat îndoieli cu privire la aplicabilitatea teoriei în geometrie, unde, după cum au descoperit și pitagoreenii, există dimensiuni incomensurabile corespunzătoare numerelor iraționale . Descoperirea teoriei relațiilor, care nu presupunea comensurabilitate, aparține probabil lui Eudox din Cnidus . În Cartea a VII-a a „Începuturilor” este dată o teorie anterioară a raporturilor cantităților comensurabile [7] .

Existența mai multor teorii pare o complicație inutilă pentru viziunea modernă, deoarece rapoartele sunt în mare măsură determinate de rezultatul divizării. Cu toate acestea, aceasta este o descoperire destul de recentă, așa cum se poate vedea din faptul că manualele moderne de geometrie încă folosesc o terminologie diferită pentru rapoarte (raport) și rezultate de diviziune (coent, coeficient). Există două motive pentru aceasta. În primul rând, a existat reticența menționată mai sus de a recunoaște numerele iraționale ca numere adevărate. În al doilea rând, lipsa simbolurilor (notații) utilizate pe scară largă pentru a înlocui terminologia deja consacrată a raporturilor a întârziat acceptarea deplină a fracțiilor ca alternativă până în secolul al XVI-lea. [opt]

Definițiile lui Euclid

Cartea a V -a a Elementelor lui Euclid conține 18 definiții referitoare la relații [9] . În plus, Euclid folosește idei care au fost atât de folosite încât nu le definește. Primele două definiții spun că o parte a unei mărimi este o altă mărime care o „măsoară”, iar invers, un multiplu al unei mărimi este o altă mărime care este măsurată de aceasta. În termeni moderni, aceasta înseamnă că un multiplu al unei cantități este acea cantitate înmulțită cu un număr întreg mai mare decât unu, iar fracția cantității (adică, divizorul ) atunci când este înmulțită cu un număr mai mare decât unu dă acea cantitate.

Euclid nu definește cuvântul „măsură”. Cu toate acestea, se poate presupune că, dacă o cantitate este luată ca unitate de măsură, iar o altă cantitate este reprezentată ca număr total de astfel de unități de măsură, atunci prima cantitate o măsoară pe a doua. Rețineți că aceste definiții sunt repetate aproape cuvânt cu cuvânt ca și definițiile 3 și 5 din Cartea a VII-a.

Definiția 3 explică ce este o relație în sens general. Nu este riguros din punct de vedere matematic și unii savanți o atribuie mai degrabă editorilor decât lui Euclid însuși. [10] Euclid definește raportul dintre două cantități de același fel , cum ar fi două segmente sau două arii, dar nu și raportul dintre lungime și zonă. Definiția 4 face acest lucru și mai riguros. Afirmă că există un raport între două mărimi dacă există un multiplu al fiecăreia care este mai mare decât cealaltă. În termeni moderni: o relație între mărimile p și q există dacă există numere întregi m și n astfel încât mp > q și nq > p . Această condiție este cunoscută sub numele de axioma lui Arhimede .

Definiția 5 este cea mai complexă și mai greu de înțeles. Ea explică ce înseamnă egalitatea pentru două rapoarte. Astăzi se poate afirma pur și simplu că rapoartele sunt egale dacă rezultatele împărțirii termenilor sunt egale, dar Euclid nu a recunoscut existența rezultatelor diviziunii pentru cantități incomensurabile, așa că pentru el o astfel de definiție ar fi lipsită de sens. Prin urmare, a fost necesară o definiție mai subtilă pentru cazul cantităților care nu se măsoară direct între ele. Deși este posibil să nu fie posibilă atribuirea unei valori raționale unui raport, este posibil să se compare raportul cu un număr rațional. Și anume, având în vedere două mărimi p și q și un număr rațional m / n , putem spune că raportul dintre p și q este mai mic decât, egal cu sau mai mare decât m / n atunci când np este mai mic, egal cu sau mai mare de mq , respectiv. Definiția euclidiană a egalității poate fi formulată după cum urmează: două rapoarte sunt egale atunci când se comportă în același mod în timp ce sunt mai mici, egale sau mai mari decât orice număr rațional. În notația modernă, arată astfel: cantități date p , q , r și s , p : q :: r : s este valabil dacă pentru orice numere întregi pozitive m și n relația np < mq , np = mq , np > mq în conform nr < ms , nr = ms , nr > ms . Există o asemănare remarcabilă între această definiție și teoria tăieturii Dedekind folosită în teoria modernă a numerelor iraționale [11] .

Definiția 6 spune că cantitățile cu același raport sunt proporționale sau proporționale . Euclid folosește cuvântul grecesc ἀναλόγον (analogon), cu aceeași rădăcină ca λόγος, din care derivă cuvântul „analog”.

Definiția 7 explică ce înseamnă ca un raport să fie mai mic sau mai mare decât altul și se bazează pe ideile din Definiția 5. În notația modernă: cantități date p , q , r și s , p : q > r : s dacă există numere întregi pozitive m și n astfel încât np > mq și nr ≤ ms .

Ca și în cazul definiției 3, definiția 8 este văzută de unii cercetători ca o includere târzie de către editori. Se spune că cei trei termeni p , q și r sunt proporționali dacă p : q :: q : r . Aceasta se extinde la 4 termeni p , q , r și s ca p : q :: q : r :: r : s etc. Secvențele care au proprietatea că rapoartele termenilor succesivi sunt egale se numesc progresii geometrice . Definițiile 9 și 10 aplică acest lucru spunând că dacă p , q și r sunt proporționale, atunci p : r este raportul duplicat al lui p : q , iar dacă p , q , r și s sunt proporționale, atunci p : s este raportul triplicat pentru p : q . Dacă p , q și r sunt proporționale, atunci se spune că q este media proporțională (sau media geometrică ) a lui p și r . În mod similar, dacă p , q , r și s sunt proporționale, atunci se spune că q și r sunt proporționale medii pentru p și s .

Procent

Dacă înmulțiți toate cantitățile dintr-un raport cu același număr, raportul nu se va modifica. De exemplu, un raport de 3:2 este același cu 12:8. De obicei, termenii proporției sunt reduși la cel mai mic numitor comun sau exprimați în fracțiuni de o sută ( la sută ). Uneori, pentru ușurința de comparare, rapoartele sunt prezentate ca n :1 sau 1: n .

Dacă amestecul conține substanțe A , B , C și D într-un raport de 5:9:4:2, atunci conține 5 părți A pentru fiecare 9 părți B , 4 părți C și 2 părți D. Deoarece 5+9+4+2=20, amestecul total conține 5/20 A (5 părți din 20), 9/20 B , 4/20  C și 2/20 D. Dacă aceste numere, împărțite la suma totală, sunt înmulțite cu 100, atunci obținem procentele: 25% A, 45% B, 20% C și 10% D (echivalent cu scrierea raportului ca 25:45:20:10). ).

Proporții

Dacă, în orice situație dată, se consideră că două sau mai multe cantități sunt proporționale - să zicem, dacă într-un coș sunt două mere și trei portocale și numai acestea - atunci putem spune că „întregul” conține cinci părți, constând din două părți de mere și trei bucăți de portocale. În acest caz , , sau 40% din total, sunt mere, iar , sau 60% din total, sunt portocale. Această comparație a unei cantități date cu un „întreg” este uneori numită proporție. Proporțiile sunt uneori exprimate ca procente , ca mai sus.

Alte utilizări

Vezi și

Note

  1. ↑ Wentworth, p. 55
  2. ↑ 1 2 3 Noua Enciclopedie Internațională
  3. ↑ 1 2 Penny Cyclopedia, p. 307
  4. ↑ Smith, p. 477
  5. ↑ A. M. S. Boethius. Fundamentele muzicii / Pregătirea textului, traducere din latină și comentariu de S. N. Lebedev. M.: Centrul științific și de publicare „Conservatorul din Moscova”, 2012, pp. xxxiv-xxxv, 276.
  6. ↑ Heath, 1908 , p. 112.
  7. ↑ Heath, 1908 , p. 113.
  8. ↑ Smith, p. 480
  9. ↑ Heath, 1908 , referință pentru secțiune.
  10. ↑ „Geometry, Euclidean” Encyclopædia Britannica Eleventh Edition p682.
  11. ↑ Heath, 1908 , p. 125.

Literatură