Paradoxul lui Cantor

Paradoxul lui Cantor este un paradox al teoriei mulțimilor , care demonstrează că presupunerea existenței unei mulțimi a tuturor mulțimilor duce la contradicții și, prin urmare, o teorie în care construirea unei astfel de mulțimi este posibilă este inconsistentă.

Formulare

Să presupunem că mulțimea tuturor mulțimilor există. În acest caz, este adevărat că fiecare mulțime este o submulțime de . Dar de aici rezultă că cardinalitatea oricărei mulțimi nu depășește cardinalitatea lui . $V=\{x\mid x=x\}$ $\forall x\forall T(x\in T\rightarrow x\in V)$ $T$ $V$ $\forall T\;|T|\leqslant |V|$ $V$

Dar în virtutea axiomei mulțimii tuturor submulțimii, pentru , la fel ca și orice mulțime, există o mulțime a tuturor submulților , și prin teorema lui Cantor , care contrazice afirmația anterioară. Prin urmare, nu poate exista, ceea ce intră în conflict cu ipoteza „naivă” că orice condiție logică corectă din punct de vedere sintactic definește o mulțime, adică aceea pentru orice formulă care nu conține liber. $V$ ${\mathcal {P}}(V)$ $|{\mathcal {P}}(V)|=2^{|V|}>|V|$ $V$ $\există y\forall z(z\in y\leftrightarrow A)$ $A$ $y$

Altă formulare

Nu există un număr cardinal maxim . Într-adevăr: lasă-l să existe și să fie egal cu . Apoi prin teorema lui Cantor . $\mu$ $2^{\mu }>\mu$

Concluzii

Acest paradox, descoperit de Cantor în jurul anului 1899 , a relevat necesitatea revizuirii „teoriei multimilor naive” ( paradoxul lui Russell a fost descoperit ceva mai târziu, în jurul anului 1901 ) și a stimulat dezvoltarea unei axiomatice riguroase a teoriei mulțimilor . Schema axiomelor a fost respinsă ca fiind contradictorie; în schimb, a fost dezvoltat un sistem de restricții asupra tipului de condiție dat de formulă . $\există y\forall z(z\in y\leftrightarrow A)$ $A$

Paradoxul lui Cantor

Formulare

Altă formulare

Concluzii

Vezi și