Setați puterea

Puterea sau numărul cardinal al unei mulțimi ( lat. cardinalis ← cardo „împrejurarea principală; bază; inimă”) este o caracteristică a mulțimilor (inclusiv a celor infinite ), generalizând conceptul de număr (număr) de elemente ale unui mulţime finită.

Acest concept se bazează pe idei naturale despre compararea mulțimilor:

oricare două mulțimi, între elementele cărora se poate stabili o corespondență unu-la-unu ( bijecție ), conțin același număr de elemente (au aceeași cardinalitate, sunt la fel de puternice );
invers: seturile echipotente trebuie să permită o astfel de corespondență unu-la-unu;
o parte a multimii nu depaseste setul complet in cardinalitate (adica in numarul de elemente).

Înainte de construirea teoriei puterii mulțimilor, mulțimile se deosebeau din punct de vedere al caracteristicilor: goale / nevide și finite / infinite, iar mulțimile finite diferă și prin numărul de elemente. Seturile infinite nu au putut fi comparate.

Puterea seturilor vă permite să comparați seturi infinite. De exemplu, seturile numărabile sunt cele mai „mai mici” seturi infinite.

Cardinalitatea unei multimi se noteaza cu . Uneori există notații și . $A$ $|A|$ $\overline {\overline {A}}$ $\#A$ ${\mathrm {card}}(A)$

Definiție

Dacă axioma alegerii este acceptată ca adevărată, cardinalitatea unei mulțimi va fi definită formal ca cel mai mic număr ordinal , sub care se poate stabili o corespondență bijectivă între și . Această definiție este numită și distribuția von Neumann a numerelor cardinale . $\alfa$ $X$ $\alfa$

Dacă nu acceptăm axioma alegerii, atunci este necesară o abordare diferită. Prima definiție a cardinalității unei mulțimi (care este implicită în lucrarea lui Cantor și menționată explicit în Frege și, de asemenea, în Principia Mathematica ) este clasa tuturor mulțimilor care sunt echivalente în cardinalitate . În sistemele axiomatice bazate pe teoria ZFC , o astfel de definiție este inaplicabilă, deoarece pentru non-vid o astfel de colecție este prea mare pentru a se potrivi cu definiția unei mulțimi. Mai precis, dacă , atunci există o mapare injectivă a mulțimii universale în , sub care fiecare mulțime merge la , de unde, în virtutea axiomei restricției de dimensiune, rezultă că este o clasă adecvată. Această definiție poate fi folosită în teoria tipurilor și „noi fundații” , precum și în sistemele axiomatice conexe. În cazul ZFC, definiția poate fi folosită prin restrângerea colecției la seturi egale cu cel mai mic rang (acest truc, propus de Dana Scott , funcționează deoarece colecția de obiecte care au un rang dat este un set). $X$ $[X]$ $X$ $X$ $X\neq \varnothing$ $[X]$ $m$ $\{m\}\time X$ $[X]$ $[X]$

Ordinea formală între numerele cardinale este introdusă după cum urmează: înseamnă că mulțimea poate fi mapată injectiv la . Conform teoremei Cantor-Bernstein , rezultă din perechea de inegalități și că . Axioma alegerii este echivalentă cu afirmația că pentru orice mulțimi și cel puțin una dintre inegalități sau . $|X|\leq |Y|$ $X$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$ $|X|=|Y|$ $X$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$

O mulțime se numește infinită conform Dedekind dacă are o submulțime proprie astfel încât . În caz contrar, mulțimea se numește Dedekind finită. Numerele cardinale finite coincid cu numerele naturale obișnuite sau cu zero, - cu alte cuvinte, mulțimea este finită dacă și numai dacă pentru un număr natural sau pentru (dacă mulțimea este goală ). Toate celelalte seturi sunt infinite . Sub rezerva axiomei alegerii, se poate demonstra că definițiile Dedekind coincid cu cele standard. În plus, se poate dovedi că cardinalitatea mulțimii numerelor naturale ( alef-zero , sau aleph-0, - numele este derivat din prima literă a alfabetului ebraic ) este cel mai mic număr cardinal infinit mare, adică , în orice mulţime infinită există o submulţime de cardinalitate . Numărul cardinal următor în ordine este notat , și așa mai departe, numărul de alefi este infinit. Orice număr ordinal îi corespunde unui număr cardinal și în acest fel poate fi descris orice număr cardinal infinit de mare. $X$ $Y$ $|X|=|Y|$ $X$ $|X|=|n|=n$ $n$ $n=0$ $\aleph_0$ $\aleph$ $\aleph_0$ $\aleph_1$ $\alfa$ $\aleph _{\alpha }$

Definiții înrudite

Cardinalitatea mulțimii de numere naturale este notă prin simbolul (" aleph - zero"). O mulțime se numește infinită dacă cardinalitatea sa nu este mai mică (nu mai mică decât cardinalitatea mulțimii numerelor naturale), deci mulțimile numărabile sunt cele „mai mici” dintre mulțimile infinite. Următoarele numere cardinale în ordine crescătoare sunt notate (unde indexul trece prin toate numerele ordinale ). Printre numerele cardinale, nu există cel mai mare: pentru orice set de numere cardinale, există un număr cardinal care este mai mare decât toate elementele acestui set. ${{\mathbb N}}$ $\aleph_0$ $\aleph_0$ $\aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{{\omega +1)),\dots \aleph _{{\omega _{1)) },\puncte$

Se spune că mulțimile care sunt echivalente cu mulțimea tuturor numerelor reale au cardinalitate continuu , iar cardinalitatea unor astfel de mulțimi este notată cu simbolul . Ipoteza care se numește ipoteza continuumului . $\mathfrak{c}$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$

Pentru cardinalități, ca și în cazul mulțimilor finite, există concepte: „egalitate”, „mai mare”, „mai puțin”. Adică, pentru orice seturi și doar unul dintre cele trei este posibil: $A$ $B$
1. $|A|=|B|$ , sau și sunt echivalente; $A$ $B$
2. $|A|>|B|$ , sau mai puternic , adică conține un subset care este la fel de puternic , dar nu la fel de puternic; $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $B$
3. $|A|<|B|$ , sau mai puternic - în acest caz conține un subset care este echivalent cu , dar nu la fel de puternic. $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$
- O situație în care și nu sunt la fel de puternice și, în același timp, niciunul dintre ei nu are o parte care să fie echivalentă cu cealaltă, este imposibilă. Aceasta rezultă din teorema lui Zermelo . Altfel, aceasta ar însemna existența unor puteri incomparabile (ceea ce este posibil în principiu dacă nu se acceptă axioma alegerii ). $A$ $B$
- Situația în care și este imposibilă prin teorema Cantor-Bernstein . $|A|>|B|$ $|A|<|B|$
Seturile și sunt numite echivalente dacă există o mapare unu-la-unu a unei mulțimi pe o mulțime . [unu] $A$ $B$ $A$ $B$

Exemple

O mulțime se numește finită dacă este echivalentă ca putere cu un segment din seria naturală pentru un întreg nenegativ . Numărul exprimă numărul de elemente din mulțimea finită. Pentru , setul nu conține elemente (mult gol). Dacă , atunci nu există o mapare injectivă de la la ( principiul lui Dirichlet ) și, prin urmare, nu există nicio bijecție între ele. Prin urmare, seturile și au cardinalități diferite. $I_{n}=\{1,2,...,n\}$ $n$ $n$ $n=0$ $m>n$ $Sunt}$ $În}$ $Sunt}$ $În}$

O mulțime se numește numărabilă dacă este echivalentă cu mulțimea tuturor numerelor naturale . Seturile numărabile sunt: $\mathbb {N}$
- Un set pentru orice natură . O potrivire bijectivă care se mapează la : . ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $k$ $\mathbb {N}$ ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $n\săgeată la dreapta n+k$
- O mulțime de . Conformitate: . ${\mathbb {N}}\cup \{0\}$ $n\rightarrow n-1$
- Set de numere întregi . O corespondență se obține dacă se compară termenii unei serii infinite cu sumele ei parțiale (termenii seriei sunt luați fără a lua în considerare semnul). $\mathbb {Z}$ $0+1-2+3-4+5-6+\dots$
- Mulțimea perechilor de numere naturale . ${\mathbb {N}}\ori {\mathbb {N}}$
- Mulțimea numerelor raționale este mapată injectiv la o mulțime (adică orice fracție ireductibilă a formei corespunde injectiv unei perechi de numere ). Prin urmare, mulțimea numerelor raționale este cel mult numărabilă. Dar, deoarece conține mulțimea numerelor naturale, este cel puțin numărabil. În consecință, după teorema Cantor-Bernstein, este exact numărabil. $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Z}}\time {\mathbb {N}}$ $p/q$ $(p,q)\în {\mathbb {Z}}\time {\mathbb {N}}$

Mulțimile infinite care nu sunt echivalente cu mulțimea se numesc nenumărabile. Conform teoremei lui Cantor , mulțimea tuturor secvențelor infinite posibile compuse din numerele 0 și 1 este de nenumărat. Puterea acestei mulțimi se numește continuu . $\mathbb {N}$

Cardinalitatea mulțimii numerelor reale este egală cu continuumul. $\mathbb {R}$

Proprietăți

Două mulțimi finite sunt echivalente dacă și numai dacă constau din același număr de elemente . Adică, pentru o mulțime finită, conceptul de putere coincide cu conceptul obișnuit de cantitate.
Pentru mulțimi infinite, cardinalitatea mulțimii poate fi aceeași cu cardinalitatea propriei submulțimi (adică nu aceeași cu mulțimea originală), de exemplu . $|{{\mathbb N}}|=|{\mathbb Z}|$
Mai mult, o mulțime este infinită dacă și numai dacă conține o submulțime proprie la fel de puternică.
Orice mulțime infinită este echivalentă cu mulțimea tuturor submulților sale finite . [2] $A$
Teorema lui Cantor : booleanul oricărei mulțimi A are cardinalitate mai mare decât A , adică . $|2^{A}|>|A|$
- În special, pentru orice set există un set mai puternic.
Folosind pătratul Cantor , se poate demonstra și următoarele: produsul cartezian al unei mulțimi infinite A cu ea însăși este echivalent cu mulțimea A însăși.
Puterea produsului cartezian: $|A\time B|=|A|\cdot |B|$
Formula de includere-excludere pentru două și trei seturi: $|A\cup B|+|A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\cup B\cup C|+|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+|A\cap B\cap C|$
Puterea diferenței simetrice a două și trei mulțimi: $|A\bigtriangleup B|+2\cdot |A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\bigtriangleup B\bigtriangleup C|+2|A\cap B|+2|A\cap C|+2|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+3 |A\cap B\cap C|$

Aritmetica numerelor cardinale

Operațiile aritmetice obișnuite pe numere naturale pot fi generalizate în cazul numerelor cardinale. Se mai poate arăta că în cazul numerelor cardinale finite aceste operații coincid cu operațiile aritmetice corespunzătoare asupra numerelor. În plus, operațiile pe numere cardinale păstrează multe dintre proprietățile operațiilor aritmetice obișnuite.

Următorul număr cardinal este

Dacă acceptăm axioma alegerii, atunci pentru fiecare număr cardinal este posibil să se determine numărul care îl urmează și nu există alte numere cardinale între și . Dacă , desigur, atunci numărul cardinal următor în ordine este același cu . În cazul infinitului, următorul număr cardinal este diferit de următorul număr ordinal. $\kappa$ $\kappa ^{+}>\kappa$ $\kappa$ $\kappa ^{+}$ $\kappa$ $\kappa +1$ $\kappa$

V desemnează numărul cardinal anterior pentru număr, dacă există unul; altfel, . $\kappa ^{-}$ $\kappa$ $\kappa ^{-}=\kappa$

Adunarea numerelor cardinale

Dacă mulțimile și nu au elemente comune, atunci suma cardinalităților este determinată de cardinalitatea unirii lor . Dacă există elemente comune, mulțimile originale pot fi înlocuite cu mulțimi care nu se intersectează de aceeași cardinalitate - de exemplu, prin înlocuirea cu , și cu . $X$ $Y$ $X$ $X\ori\{0\}$ $Y$ $Y\ori\{1\}$

Neutralitate zero în ceea ce privește adăugarea:

\kappa +0=0+\kappa=\kappa

Asociativitate :

(\kappa +\mu )+\nu =\kappa +(\mu +\nu )

Comutativitate :

\kappa +\mu =\mu +\kappa

Monotonitatea (nedescrescătoare) adăugării în ambele argumente:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa +\nu \leq \mu +\nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu +\kappa \leq \nu +\mu .

Dacă axioma alegerii este acceptată ca adevărată, atunci suma a două numere cardinale infinite poate fi calculată cu ușurință. Dacă unul dintre numere sau este infinit, atunci $\kappa$ $\mu$

\kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

Scădere

Sub rezerva axiomei alegerii, pentru orice număr cardinal infinit și număr cardinal arbitrar , existența lui , pentru care , este echivalentă cu inegalitatea . Acesta este unic (și coincide cu ) dacă și numai dacă . $\sigma$ $\mu$ $\kappa$ $\mu+\kappa=\sigma$ $\mu \leq \sigma$ $\kappa$ $\sigma$ $\mu <\sigma$

Înmulțirea numerelor cardinale

Produsul a două numere cardinale este exprimat prin produsul cartezian al mulțimilor: $|X|\cdot |Y|=|X\time Y|$

Proprietăți zero:

\kappa \cdot 0=0\cdot \kappa =0

\kappa \cdot \mu =0\rightarrow \kappa =0\lor \mu =0

Neutralitatea unității în ceea ce privește înmulțirea:

\kappa \cdot 1=1\cdot \kappa =\kappa

Asociativitate :

(\kappa \cdot \mu )\cdot \nu =\kappa \cdot (\mu \cdot \nu )

Comutativitate :

\kappa \cdot \mu =\mu \cdot \kappa

Monotonitatea (nedescrescătoare) a înmulțirii în raport cu ambele argumente:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa \cdot \nu \leq \mu \cdot \nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu \cdot \kappa \leq \nu \cdot \mu .

Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

\kappa \cdot (\mu +\nu )=\kappa \cdot \mu +\kappa \cdot \nu

(\mu +\nu )\cdot \kappa =\mu \cdot \kappa +\nu \cdot \kappa

Prin analogie cu adunarea, produsul a două numere cardinale infinite poate fi calculat cu ușurință respectând axioma alegerii. Dacă numerele și sunt diferite de zero și cel puțin unul dintre ele este infinit, atunci $\kappa$ $\mu$

\kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

Divizia

Sub rezerva axiomei alegerii, pentru orice pereche de numere cardinale și , unde este infinită și nu este egală cu zero, existența lui , pentru care , este echivalentă cu inegalitatea . Acesta este unic (și coincide cu ) dacă și numai dacă . $\pi$ $\mu$ $\pi$ $\mu$ $\kappa$ $\mu \cdot \kappa=\pi$ $\mu \leq \pi$ $\kappa$ $\pi$ $\mu <\pi$

Exponentiarea numerelor cardinale

Exponentiația este definită după cum urmează:

|X|^{{|Y|}}=|X^{Y}|

unde denotă mulțimea tuturor funcțiilor de la până la . $X^{Y}$ $Y$ $X$

\kappa ^{0}=1

(în special, ), vezi Funcția gol

0^{0}=1

1\leq \mu \rightarrow 0^{\mu }=0

1^{\mu }=1

\kappa ^{1}=\kappa

\kappa ^{{\mu +\nu }}=\kappa ^{\mu }\cdot \kappa ^{\nu }

\kappa ^{{\mu \cdot \nu }}=(\kappa ^{\mu })^{\nu }

(\kappa \cdot \mu )^{\nu }=\kappa ^{\nu }\cdot \mu ^{\nu }

Monoton:

(1\leq \nu \land \kappa \leq \mu )\rightarrow \nu ^{\kappa }\leq \nu ^{\mu )

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa ^{\nu }\leq \mu ^{\nu }

Observați care este puterea booleanului și, prin urmare, pentru orice set (vezi metoda diagonalei lui Cantor ). Acest lucru implică faptul că printre numerele cardinale nu există cel mai mare (deoarece pentru orice număr cardinal se poate specifica un număr mai mare ). De fapt , clasa tuturor numerelor cardinale este adecvată (deși în unele sisteme de axiome ale teoriei mulțimilor acest lucru nu poate fi demonstrat - cum ar fi, de exemplu, sistemul "Noilor Fundații" ). $2^{{|X|}}$ $X$ $2^{{|X|}}>|X|$ $X$ $\kappa$ $2^{\kappa }$

Toate afirmațiile ulterioare din această secțiune se bazează pe axioma alegerii.

Dacă și sunt numere finite mai mari decât 1 și este un număr cardinal infinit, atunci Dacă numărul cardinal este infinit și diferit de zero, atunci . $\kappa$ $\mu$ $\nu$ $\kappa ^{\nu }=\mu ^{\nu }.$ $\kappa$ $\mu$ $\kappa ^{\mu }=\kappa$

Dacă și , și cel puțin unul dintre ele este infinit, atunci $\kappa \geq 2$ $\mu \geq 1$

\max\{\kappa ,2^{\mu }\}\leq \kappa ^{\mu }\leq \max\{2^{\kappa},2^{\mu }\)

Folosind teorema lui König , se poate demonstra că pentru orice număr cardinal infinit sunt valabile următoarele inegalități: $\kappa$

\kappa </kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa ))

\kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })

unde denotă finalitatea . $\operatorname {cf} (\kappa )$ $\kappa$

Extragerea rădăcinilor

Dacă observăm axioma alegerii, atunci pentru orice cardinal infinit și cardinal finit există un număr cardinal astfel încât , și . $\kappa$ $\mu>0$ $\nu$ $\nu ^{\mu }=\kappa$ $\nu=\kappa$

Logaritmi

Sub rezerva axiomei alegerii, un număr cardinal care satisface condiția , dat fiind infinit și finit , nu există întotdeauna. Dacă un astfel de număr există, atunci este infinit și mai mic decât , și orice număr cardinal finit va satisface, de asemenea, egalitatea . $\lambda$ $\mu ^{\lambda }=\kappa$ $\kappa$ $\mu>1$ $\lambda$ $\kappa$ $\nu>1$ $\nu ^{\lambda }=\kappa$

Logaritmul unui număr cardinal infinit este cel mai mic număr cardinal care îndeplinește condiția . În ciuda faptului că logaritmilor numerelor cardinale infinit de mari le lipsesc unele dintre proprietățile caracteristice logaritmilor numerelor reale pozitive, se dovedesc a fi utili în anumite domenii ale matematicii - în special, în studiul invarianților cardinali ai topologici. spatii. $\kappa$ $\mu$ $\kappa \leq 2^{\mu }$

Ipoteza continuum

Conform ipotezei continuumului , nu există alte numere cardinale între și . Numărul cardinal este de asemenea notat și reprezintă cardinalitatea continuumului (adică mulțimea numerelor reale ). In acest caz . Ipoteza generalizată a continuumului neagă existența numerelor cardinale strict între și pentru orice set infinit de . Ipoteza continuumului este independentă de axiomatizarea standard a teoriei mulțimilor, adică sistemul de axiome Zermelo-Fraenkel combinat cu axioma alegerii (vezi teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel ). $\aleph_0$ $2^{\aleph_0}$ $2^{\aleph_0}$ $\mathfrak{c}$ $2^{{\aleph _{0}}}=\aleph _{1}$ $|X|$ $2^{{|X|}}$ $X$

Vezi și

Numar ordinal

Note

↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Algebră generală. Volumul 1. - M., Nauka, 1990. - p. 31
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Algebră generală. Volumul 1. - M., Nauka, 1990. - p. 32

Literatură

A. A. Bolibrukh, Problemele lui Hilbert (100 de ani mai târziu), Capitolul 2 Prima problemă a lui Hilbert: ipoteza continuumului Arhivat la 3 iunie 2004 la Wayback Machine , Biblioteca de educație matematică, numărul 2
R. Courant, G. Robbins, Ce este matematica? Capitolul II, § 4.
Curs optional de matematica. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M . : Educaţie , 1991. - S. 109-110. — 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .
Brudno A. L. Teoria funcțiilor unei variabile reale. - M. : Nauka, 1971. - 119 p.

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion