Spațiu metrizabil

Un spațiu metrizabil este un spațiu topologic , homeomorf unui spațiu metric . Cu alte cuvinte, un spațiu a cărui topologie este generată de o metrică .

Dacă există o astfel de metrică, atunci nu este unică, cu excepția cazurilor banale: când spațiul este gol sau este format dintr-un singur punct. De exemplu, topologia fiecărui spațiu metrizabil este generată de o metrică mărginită.

Condiții necesare pentru metrizabilitate

Într-un spațiu metrizabil, axiomele de separabilitate puternice sunt valabile : sunt normale și chiar normale colectiv .
Fiecare spațiu metrizabil este paracompact .
Toate spațiile metrizabile satisfac prima axiomă a numărabilității .
Pentru orice spațiu metrizabil , numărul Suslin , numărul Lindelöf , densitatea , răspândirea , întinderea , greutatea sunt aceleași .

O condiție suficientă pentru metrizabilitate

Fiecare spațiu normal (și chiar fiecare spațiu obișnuit ) cu o bază numărabilă este metrizabil. ( P. S. Uryson și A. N. Tikhonov )

Condiții echivalente pentru metrizabilitate

Primul criteriu general pentru metrizabilitatea unui spațiu a fost propus în 1923 de PS Aleksandrov și PS Uryson . Pe baza acestuia, au fost dezvoltate următoarele două criterii mai perfecte pentru metrizabilitate:

un spațiu este metrizabil dacă și numai dacă este colectiv normal și are un set numărabil și rafinat de coperți deschise ;
(Criteriul Stone-Arkhangelsky) Un spațiu este metrizabil dacă și numai dacă are un set fundamental numărabil de acoperiri deschise și satisface axioma -separabilitate. În acest caz, setul de învelișuri deschise ale spațiului se numește fundamental dacă pentru fiecare punct , fiecare dintre vecinătățile sale, există o acoperire și o vecinătate a punctului astfel încât fiecare element al învelișului cu care se intersectează este conținut în . $T_{1}$ $X$ $x\în X$ $U_x$ ${\mathcal P}$ $Bou$ $X$ ${\mathcal P}$ $Bou$ $U_x$

Un alt concept important, finititatea locală, stă la baza criteriilor generale de metrizare.

Criteriul Nagata-Smirnov: Un spațiu este metrizabil dacă și numai dacă este regulat și are o bază care se descompune într-o mulțime numărabilă de familii de mulțimi local finite . $X$

Criteriul lui Bing este similar, dar folosește familii discrete de mulțimi în loc de cele local finite. Variante convenabile ale criteriilor de metrizabilitate de bază de mai sus sunt legate de conceptele de bază uniformă și bază regulată. Baza spațiului se numește regulată (uniformă) dacă pentru orice punct și oricare dintre vecinătățile sale există o vecinătate a acestui punct astfel încât numărul de elemente ale bazei care se intersectează în același timp și complementul la este finit (respectiv, dacă mulțimea de elemente astfel încât este finită). ${\mathcal B}$ $X$ $x\în X$ $Bou$ $U_x$ ${\mathcal B}$ $U_x$ $Bou$ $\Omega \in {\mathcal B}$ $\Omega \ni x$ $\Omega \nu \subset O_{x}$

Un spațiu este metrizabil dacă și numai dacă este colectiv normal și are o bază uniformă. $X$
Pentru ca un -spațiu să fie metrizabil , este necesar și suficient ca acesta să aibă o bază regulată. $T_{1}$

Conform teoremei Kovalsky, gradul numărabil al ariciului spinos (pentru ) este spațiul universal pentru toate spațiile metrizabile ale greutății . Astfel, un spațiu este metrizabil dacă și numai dacă este homeomorf la un subspațiu de grad numărabil al unui arici cu o oarecare înțepătură . [unu] $\mathfrak{m}$ ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$

Cazuri speciale

Criteriile de metrizare realizează simplitate într-un număr de clase speciale de spații. Astfel, pentru ca un set compact să fie metrizabil, oricare dintre următoarele trei condiții este necesară și suficientă: $X$

$X$ are o bază de numărare ;
$X$ are o bază numărabilă în puncte ;
în există o rețea de numărare ; $X$

Pentru ca spațiul unui grup topologic să fie metrizabil, este necesar și suficient ca prima axiomă a numărabilității și axioma separabilității să fie satisfăcute în cea din urmă , iar apoi spațiul să fie metrizabil printr-o metrică invariantă (de exemplu, în ceea ce privește inmultire in stanga). $T_{0}$

Despre completitudine

Nu orice spațiu metrizabil este metrizabil printr -o metrică completă ; astfel este, de exemplu, spațiul numerelor raționale . Un spațiu este metrizabil printr-o metrică completă dacă și numai dacă este metrizabil și Cech complet , adică este o mulțime de tip G δ într-o mulțime compactă care îl conține. O proprietate topologică importantă a spațiilor metrizabile de o metrică completă este proprietatea Baer : intersecția oricărei familii numărabile de mulțimi deschise dense este peste tot densă .

Variații și generalizări

Pentru spațiile metrizabile, spațiile Morov sunt cele mai apropiate în proprietăți - spații complet obișnuite, cu o familie de rafinare numărabilă de coperți deschise și spații dantelate .

O gamă largă de generalizări ale conceptului de spațiu metrizabil se obține prin variarea axiomelor metricii, slăbindu-le într-un fel sau altul și luând în considerare topologiile generate de astfel de „metrici”. Pe această cale se obțin spații simetrizabile - prin abandonarea axiomei inegalității triunghiului . În această schemă se încadrează și spațiile morovene. O altă generalizare importantă a conceptului de metrizabilitate este legată de luarea în considerare a „metricilor” cu valori în semicâmpuri și alte formațiuni algebrice de natură generală.

Note

↑ Swardson, MA O scurtă demonstrație a teoremei ariciului lui Kowalsky . Societatea Americană de Matematică (1 iunie 1979). Consultat la 12 iulie 2014. Arhivat din original la 14 iulie 2014. (nedefinit)

Literatură

Alexandrov, Pavel Sergheevici, Boris Alekseevici Pasynkov. Introducere în teoria dimensiunii: o introducere în teoria spațiilor topologice și teoria generală a dimensiunii. - Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1973.