Variabile ale lui Mandelstam

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 9 iulie 2019; verificările necesită 2 modificări .

Variabilele lui Mandelshtam sunt trei mărimi invariante relativiste scalare care se păstrează în procesul de împrăștiere a două particule elementare cu formarea a două particule noi sau conservarea a două particule elementare vechi sau în procesul de dezintegrare a unei particule elementare în trei. Denumită de obicei ca . Au fost introduse de fizicianul american Stanley Mandelstam (1928-2016) în 1958 [1] . Procesul de împrăștiere poate fi descris pe deplin prin specificarea valorilor doar a două variabile Mandelstam. Fiecare dintre ele este egal cu pătratul energiei totale a unei perechi de particule din sistemul de coordonate în care centrul lor este în repaus. [2] $s,t,u$

Definiție

Să luăm în considerare procesul de împrăștiere a două particule elementare cu vectori energie-impuls și formarea după interacțiunea a două particule noi sau conservarea a două particule elementare vechi cu vectori energie-impuls . Relația dintre energie și masă este: $p_{1},p_{2)$ $p_{3},p_{4)$

p_{i}^{2}=g_{\mu \nu }p_{i}^{\mu }p_{i}^{\nu }=m_{i}^{2}c^{2 }.

În spațiu-timp cu o metrică , ele iau forma $\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$

m_{i}^{2}c^{4}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}c^{2},

sau în unităţi relativiste $(c=1)$

m_{i}^{2}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}.

Iată indicele particulei elementare. Conservarea fiecărei componente a vectorului energie-impuls este exprimată prin ecuația: $i=1,2,3,4$

p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}.

Din această ecuație, se pot deriva trei variabile Mandelstam în unități relativiste : $(c=1)$

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2))$
${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2))$
$u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}$

Proprietăți

Variabilele Mandelstam sunt legate prin relația:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.

Concluzie

Pentru derivare, folosim două relații:

Pătratele celor patru impulsuri sunt egale cu pătratele maselor:

p_{i}^{2}=m_{i}^{2)

Salvarea unui patru impulsuri:

{\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4))

{\displaystyle p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4))

În acest fel:

s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2)

t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3)

u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4)

Însumând și înlocuind pătratele maselor, obținem:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^ {2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}

Observăm că ultimii patru termeni dispar din cauza conservării cu patru momente:

2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\ cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0

În acest fel:

{\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2))

Note

^ Mandelstam , S. Determinarea amplitudinii de împrăștiere Pion-Nucleon din relații de dispersie și unitate // Revista fizică : jurnal . - 1958. - Vol. 112 , nr. 4 . - P. 1344 . - doi : 10.1103/PhysRev.112.1344 . - Cod . Arhivat la 28 mai 2000.
↑ Ziman, 1971 , p. 226.

Literatură

Ziman J. Teoria cuantică modernă. - M . : Mir, 1971. - 288 p.