Reconstrucție Morse

Chirurgia sau rearanjarea Morse este transformarea unor varietăți netede pe care o suferă o varietate a nivelului unei funcții netede când trece printr-un punct critic nedegenerat ; cea mai importantă construcţie în topologia diferenţială .

Rolul important al chirurgiei în topologia varietăților se explică prin faptul că permit distrugerea „delicată” (fără a încălca una sau alta proprietate a unei varietăți) a grupurilor de homotopie „extra” (operația „lipirea unei celule”, de obicei folosit în acest scop în teoria homotopiei, scoate instantaneu din clasa varietăților) . Aproape toate teoremele de clasificare pentru structurile pe varietăți se bazează pe studiul întrebării când, pentru o mapare a unei varietăți închise într-un spațiu celular , există un astfel de bordism și o astfel de mapare încât , și este o echivalență de homotopie . Modul natural de a rezolva această problemă este eliminarea nucleelor de homomorfisme (unde sunt grupurile de homotopie ) printr-o succesiune de operații. Dacă acest lucru reușește, atunci maparea rezultată va fi o echivalență de homotopie. Studiul obstacolelor corespunzătoare (care se află în așa-numitele grupuri Wall ) a fost unul dintre principalii stimuli în dezvoltarea teoriei L algebrice . $f:M\la X$ $M$ $X$ $(W;M,N)$ $F:W\la X$ $F|_{M}=f$ $F|_{N}:\la X$ $f^{*}:\pi _{k}(M)\to \pi _{k}(X)$ $\pi _{k}$

Constructii

Fie o varietate dimensională netedă (fără graniță) în care sfera dimensională este încorporată (neted) . Să presupunem că mănunchiul normal al unei sfere dintr-o varietate este trivial, adică că o vecinătate tubulară închisă a unei sfere din B se descompune într-un produs direct , unde este un disc de dimensiune . Alegând o astfel de descompunere, tăiem interiorul cartierului . Se obține o varietate, a cărei limită este descompusă într-un produs de sfere. Exact aceeași limită are varietatea . Prin identificarea marginilor acestor varietăți printr-un difeomorfism care păstrează structura produsului direct , obținem din nou o varietate fără frontieră, care se numește rezultatul intervenției chirurgicale a multiplelor de -a lungul sferei . $V$ $n$ $(k-1)$ $S^{k-1)$ $S^{k-1)$ $V$ $T$ $S^{k-1)$ $V$ $T=S^{k-1}\times D^{n-k+1}$ $D^{n-k+1}$ $n-k+1$ $V$ $T$ $S^{k-1}\times S^{nk)$ $D^{k}\times S^{nk}$ $V'$ $V$ $S^{k-1)$

Pentru a efectua o intervenție chirurgicală, este necesar să se stabilească o descompunere a vecinătății sferei într-un produs direct, adică banalizarea pachetului normal al sferei în colector , în timp ce diferite trivializări (tachelarii) pot da semnificativ diferite (chiar și homotopie) varietati . $T$ $S^{k-1)$ $S^{k-1)$ $V$ $V'$

Numărul se numește indice de intervenție chirurgicală, iar perechea se numește tip de intervenție chirurgicală. Daca se obtine din tipul de interventie chirurgicala , atunci se obtine din tipul de interventie chirurgicala . Căci , varietatea este uniunea disjunctă dintre varietatea (care poate fi goală în acest caz) și sfera . $k$ $(k,n-k+1)$ $V'$ $V$ $(i, j)$ $V$ $V'$ $(j,i)$ $k=0$ $V'$ $V$ $S^{n}$

Exemple

Cu și ca urmare a intervenției chirurgicale, se obține o unire disjunctă a două sfere și cu - un torus . $V=S^{2}$ $k=2$ $k=1$
Pentru si , se obtine produsul . $V=S^{3}$ $k=2$ $S^{1}\times S^{2}$
Cazul este și mai complicat: dacă sfera este încorporată într-un mod standard (cerc mare), atunci în funcție de alegerea trivializării sale a fasciculului normal, se obțin spații lentile ; dacă permitem înnodarea sferei , atunci obținem un set și mai mare de varietăți tridimensionale. $V=S^{3}$ $k=1$ $S^{1}$ $S^{3}$ $S^{1}$

Proprietăți

Dacă este limita unei varietăți - dimensionale , atunci va fi limita unei varietăți obținute din lipirea mânerului index . $V$ $(n+1)$ $M$ $V'$ $M'$ $M$ $k$
- În special, dacă este o funcție netedă pe o varietate și sunt numere astfel încât mulțimea să fie compactă și să conțină un singur punct critic , care este nedegenerat, atunci colectorul este obținut din colector prin intervenția chirurgicală a indicelui , unde este Indicele Morse al punctului critic . $f$ $M$ $a<b$ $f^{{-1}}([a,b])$ $p$ $V_{b}=f^{-1}(b)$ $V_{a}=f^{-1}(a)$ $k$ $k$ $p$
- Mai general, orice rearanjare a varietății index definește un anumit bordism , iar pe triadă există $V'$ $V$ $k$ $(W;V,V')$ $(W;V,V')$
o funcție Morse care are un singur punct critic de index și orice bordism pe care există o astfel de funcție Morse se obține în acest fel. $k$ $(W;V,V')$
- Din aceasta (și din existența funcțiilor Morse pe triade) rezultă că două varietăți sunt bordante dacă și numai dacă una dintre ele este obținută de la cealaltă printr-o succesiune finită de intervenții chirurgicale.
Cu anumite precauții în manipularea orientărilor, rezultatul intervenției chirurgicale pe un colector orientat va fi din nou un colector orientat.

Variații și generalizări

Construcția chirurgiei poate fi realizată și pentru varietăți liniare și topologice pe bucăți.