Geometrie diferențială

Geometria diferențială  este o ramură a matematicii care studiază varietăți netede , de obicei cu structuri suplimentare. Au multe aplicații în fizică , în special în relativitatea generală .

Principalele subsecțiuni ale geometriei diferențiale:

• geometria diferenţială a curbelor ,
• geometria diferentiala a suprafetelor ,
• geometria riemanniana ,
• geometrie pseudo-riemanniană ,
• geometrie complexă ,
• geometrie simplică ,
• teoria suprafeței ,
• Geometria Finsler .

Adesea, geometria diferenţială este tratată ca o secţiune indivizibilă împreună cu topologia diferenţială . Diferențele dintre aceste secțiuni pot fi prezența sau absența unor structuri suplimentare pe o varietate netedă, dar pot fi și prezența sau absența invarianților locali: în topologia diferențială, structurile pe varietăți sunt considerate astfel încât orice pereche de puncte poate avea vecinătăți identice. , în timp ce în geometria diferențială, în general, pot exista invarianți locali (cum ar fi curbura ) care pot diferi în puncte. De exemplu, structura simplectică nu are astfel de invarianți și, împreună cu geometria simplectică, este considerată „ topologia simplectică ”.

Clasificarea subiectelor matematice alocă o secțiune de nivel superior pentru geometria diferențială 53și atribuie topologia diferențială ca bloc de nivel al doilea 57Rxxîn secțiunea „Colectivități și complexe de celule”.

Istorie

Geometria diferențială a apărut și s-a dezvoltat în strânsă legătură cu analiza matematică , care ea însăși a apărut în mare parte din problemele geometriei. Multe concepte geometrice au precedat conceptele corespunzătoare de analiză. Deci, de exemplu, conceptul de tangentă a precedat conceptul de derivată , conceptul de zonă și volum - conceptul de integrală .

Apariția geometriei diferențiale datează din secolul al XVIII-lea și este asociată cu numele de Euler și Monge . Primul eseu rezumat despre teoria suprafețelor a fost scris de Monge („Application of Analysis to Geometry”, 1795 ). În 1827, Gauss și-a publicat Studiul general asupra suprafețelor curbate, în care a pus bazele teoriei suprafețelor în forma sa modernă. De atunci, geometria diferențială a încetat să mai fie doar o aplicație a analizei și a luat un loc independent în matematică.

Un rol uriaș în dezvoltarea întregii geometrii, inclusiv a geometriei diferențiale, a fost jucat de descoperirea geometriei non-euclidiene . Riemann , în prelegerea sa „On the Hypotheses Underlying the Foundations of Geometry” ( 1854 ), a pus bazele geometriei riemanniene , cea mai dezvoltată parte a geometriei diferențiale moderne.

Punctul de vedere teoretic al grupurilor al lui Klein , expus în „ Programul Erlangen ” ( 1872 ), adică: geometria - studiul invarianților grupurilor de transformare, așa cum este aplicat geometriei diferențiale, a fost dezvoltat de Cartan , care a construit teoria spaţii de legătură proiectivă şi de legătură afină .

Topologia diferențială este o ramură mult mai tânără a matematicii: a început să se dezvolte abia la începutul secolului al XX-lea.

Literatură

• Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Geometrie modernă. Metode și aplicații. - M. : Nauka, 1986. - 760 p.
• Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Curs de geometrie diferențială și topologie. - M. : MGU, 1980. - 439 p.
• J. Schwartz Geometrie și topologie diferențială. -M .: Mir, 1970. - 223 p.
• Veblen O. , Whitehead J. Foundations of Differential Geometry = The Foundations of Differential Geometry / Per. din engleza. M. G. Freidina. — M. : IL, 1949. — 230 p.
• Hussein-Zade S. M. Prelegeri despre geometrie diferențială . - M. : MGU, 2001. - 54 p.
• Egorov D. F. Lucrări de geometrie diferenţială . - M. : Nauka, 1970. - 380 p.
• Nomizu K. Lie groups and diferential geometry = Lie Groups and Differential Geometry / Per. din engleza. Yu. A. Shub-Sizonenko. - M. : IL, 1960. - 128 p.
• Pogorelov AI Geometrie diferențială . - Ed. a VI-a. - M . : Nauka, 1974. - 176 p.
• Rashevsky PK Un curs de geometrie diferenţială . - Ed. a 3-a. - M. - L. : GITTL, 1950. - 428 p.
• Rozendorn E.R.Probleme de geometrie diferenţială . - M. : Nauka, 1971. - 64 p.
• Sternberg S. Lectures on Differential Geometry = Lectures on Differential Geometry / Per. din engleza. D. V. Alekseievski. - M . : Mir, 1970. - 412 p.
• Troitsky EV Geometrie diferențială și topologie . - M. : MGU, 2003. - 52 p.
• Finikov S.P. Geometrie diferenţială. Curs de prelegeri . - M. : MGU, 1961. - 158 p.
• Finikov S. P. Geometrie proiectiv-diferențială . - M. - L. : ONTI, 1937. - 264 p.
• Skopenkov A. Fundamentele geometriei diferenţiale în probleme interesante . — M .: MTsNMO, 2008.

Dicționare și enciclopedii	mare danez Rusă mare in jurul lumii Britannica (online) Ucraina modernă
În cataloagele bibliografice BNF : 133188233 GND : 4012248-7 J9U : 987007565328605171 LCCN : sh85054146 NDL : 00560656 NKC : ph119440