Un poliedru este o unire de poliedre nu neapărat de aceeași dimensiune . În geometrie , un poliedru (plural de poliedre) este o figură tridimensională cu fețe poligonale plate, muchii drepte și colțuri sau vârfuri ascuțite. Cuvântul poliedru provine din greaca clasică πολεεδρον, ca poli- (tulpina πολύς, „mulți”) + -edru (forma δδρα, „bază” sau „ședință”). Un poliedru convex este învelișul convex al unui număr finit de puncte, nu toate în același plan. Cuburile și piramidele sunt exemple de poliedre convexe.
Un poliedru este un exemplu tridimensional al unui poliedru mai general în orice număr de dimensiuni.
Descompunerea unui poliedru în simplexe se numește complex simplicial .
Conceptul de poliedru este folosit în teoria omologiei simpliale .
Uneori, un poliedru este numit poliedru obișnuit de dimensiunea 3.
Poliedrele convexe sunt bine definite, cu mai multe definiții standard echivalente. Cu toate acestea, definiția matematică formală a poliedrelor, care nu trebuie să fie convexe, a fost problematică. Multe definiții ale „poliedrului” au fost date în contexte specifice, unele mai riguroase decât altele și nu există un acord universal cu privire la care să alegeți. Unele dintre aceste definiții exclud forme considerate adesea poliedre (cum ar fi poliedre care se intersectează automat) sau includ forme care adesea nu sunt considerate poliedre valide (cum ar fi corpuri rigide ale căror limite nu sunt multiple). După cum a remarcat Branko Grünbaum : „păcatul original în teoria poliedrelor se întoarce la Euclid și, de asemenea, prin Kepler , Poinsot , Cauchy și mulți alții. În fiecare etapă, autorii nu au reușit să definească ce sunt poliedre”. [unu]
Cu toate acestea, există un acord general că un poliedru este un corp rigid sau o suprafață care poate fi descrisă prin vârfurile (punctele de colț), muchiile (segmentele de linie care leagă anumite perechi de vârfuri), fețele (poligoane bidimensionale) și uneori prin cele trei ale sale. -volum intern dimensional. Se poate distinge între aceste definiții diferite în funcție de faptul că ele descriu un poliedru ca un corp rigid, dacă îl descriu ca o suprafață sau îl descriu mai abstract pe baza geometriei sale de cădere.
O definiție comună și oarecum naivă a unui poliedru este aceea că este un corp rigid a cărui limită poate fi acoperită de un număr finit de plane sau că este un corp rigid format ca unirea unui număr finit de poliedre convexe. [2] Rafinamentele naturale ale acestei definiții necesită ca un corp rigid să fie delimitat, să aibă un interior conectat și, eventual, să aibă și o limită conectată. Fețele unui astfel de poliedru pot fi definite ca componentele conexe ale părților graniței în fiecare dintre planurile care o acoperă, iar muchiile și vârfurile ca segmentele de linie și punctele în care aceste fețe se întâlnesc. Cu toate acestea, poliedrele astfel definite nu includ poliedre stelare auto-intersectate, fețele lor nu pot forma poligoane simple, iar unele muchii pot aparține mai mult de două fețe. Definițiile bazate pe ideea unei suprafețe de delimitare mai degrabă decât a unui corp rigid sunt, de asemenea, comune. De exemplu, O'Rourke (1993) definește un poliedru ca uniunea poligoanelor convexe (fețele sale) situate în spațiu astfel încât intersecția oricăror două poligoane să fie un vârf comun sau o muchie sau o mulțime goală și astfel încât unirea lor să fie un varietate. Dacă porțiunea plată a unei astfel de suprafețe nu este ea însăși un poligon convex, O'Rourke cere ca aceasta să fie subdivizată în poligoane convexe mai mici, cu unghiuri diedre plate între ele. Puțin mai general, Grünbaum definește un poliedru aoptic ca o colecție de poligoane simple care formează o varietate încorporată, cu fiecare vârf incident la cel puțin trei muchii și fiecare dintre cele două fețe intersectându-se numai la vârfurile și muchiile comune ale fiecăreia dintre ele. [3] Politopii Cromwell dau o definiție similară, dar fără restricția a trei muchii pe vârf. Din nou, acest tip de definiție nu acoperă poliedrele care se intersectează. Concepte similare stau la baza definițiilor topologice ale poliedrelor ca subdiviziuni ale unei varietăți topologice în discuri topologice (fețe), ale căror intersecții perechi trebuie să fie puncte (vârfuri), arce topologice (margini) sau o mulțime goală. Cu toate acestea, există poliedre topologice (chiar și cu toate fețele triunghiulare) care nu pot fi realizate ca poliedre optice.
Una dintre abordările moderne se bazează pe teoria poliedrelor abstracte. Ele pot fi definite ca mulțimi parțial ordonate ale căror elemente sunt vârfurile, muchiile și fețele unui poliedru. Un vârf sau un element de margine este mai mic decât un element de muchie sau de față (în această ordine parțială) atunci când vârful sau muchia este parte a muchiei sau a feței. De asemenea, este posibil să se includă un element inferior special de acest ordin parțial (reprezentând mulțimea goală) și un element superior reprezentând întregul poliedru. Dacă secțiunile de ordine parțială dintre elemente distanțate la trei niveluri (adică între fiecare față și element de jos și între elementul superior și fiecare vârf) au aceeași structură ca reprezentarea abstractă a unui poligon, atunci aceste mulțimi parțial ordonate poartă exact aceeași informaţia ca poliedru topologic. Cu toate acestea, aceste cerințe sunt adesea relaxate, în schimb necesită doar ca secțiunile dintre elemente la două niveluri unul de celălalt să aibă aceeași structură ca reprezentarea abstractă a unui segment de linie. Aceasta înseamnă că fiecare muchie conține două vârfuri și aparține la două fețe și că fiecare vârf de pe o față aparține la două muchii ale acelei fețe. Poliedre geometrice definite în alte moduri pot fi descrise în mod abstract în acest fel, dar este, de asemenea, posibil să se utilizeze poliedre abstracte ca bază pentru definirea poliedrelor geometrice. O implementare a unui politop abstract este de obicei gândită ca o mapare a vârfurilor politopului abstract la puncte geometrice, astfel încât punctele fiecărei fețe să fie coplanare.