Omologie simplă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 aprilie 2020; verificările necesită 2 modificări .

Simplexuri și complexe

O dimensiune simplex este o înveliș convexde punctecare nu se află într-unsubspațiu unidimensional. Un simplex 0-dimensionaleste un punct, unsegment 1-dimensional, untriunghi 2-dimensional, untetraedru 3-dimensional etc. Simplexul generat de o parte a punctelorse numește o față a simplexului mare. $k$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $(k-1)$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\rangle$ $\langle a_{i}\rangle$

Apoi introducem notiunea de complex simplist (cu accent pe e). Un complex este un set de simplexe, cu fiecare dintre ele complexul include toate fețele sale și oricare două simplexe fie nu au deloc un punct comun, fie se intersectează doar de-a lungul unei întregi fețe de o anumită dimensiune și doar de-a lungul unei fețe. De obicei, ele necesită, de asemenea, ca orice punct al complexului să aibă o vecinătate care se intersectează cu cel mult un număr finit de simplexe (așa-numita finitate locală ). $K$

Grup de lanț

Să considerăm un grup abelian gradat cu coeficienți întregi generați de simplecele complexului, așa-numitele. un grup de lanț care este o sumă directă a grupurilor de lanț de dimensiune . $C(K)$ $k:\;C_{k}(K)$

Simplexurile sunt considerate a avea o orientare, iar simplexul va fi considerat egal dacă permutarea este pară și având semnul opus dacă este impară. $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $\langle a_{\sigma (0)},a_{\sigma (1)},...~a_{\sigma (k)}\rangle$ $\sigma$

Operator de limită

Definim operatorul pentru luarea feței $i$ geometrice :

$\langle a_{0},...~a_{i},...~a_{k}\rangle \to (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ , unde înseamnă că --lea vârf ar trebui sărit. ${\hat {a_{i))}$ $i$

Operatorul de luare a unei fețe geometrice depinde doar de simplexul în sine, dar nu de ordinea vârfurilor care definesc simplexul.

Pentru a face acest lucru, este suficient să demonstrăm că operatorul de luare a feței --a nu se schimbă atunci când două vârfuri sunt interschimbate (transpunere). Dacă această transpunere nu afectează , atunci acest lucru este evident. Dacă se rearanjează la locul -, atunci avem (să fie, de exemplu, ): $i$ $a_{i}$ $a_{i}$ $j$ $j<i$

{\begin{matrice}\langle a_{0},...~a_{j},...~a_{i},...~a_{k}\rangle =-\langle a_{0}, ...~a_{i},...~a_{j},...~a_{k}\rangle \to -(-1)^{j}\langle a_{0},...~ {\hat {a_{i))},...~a_{i-1},~a_{j},...~a_{k}\rangle =\\=-(-1)^{j }(-1)^{ij-1}\langle a_{0},...a_{j},...~a_{i-1},{\hat {a_{i}}}... ~a_{k}\rangle =(-1)^{i}\langle a_{0},...~a_{j},...~{\hat {a_{i))},... ~a_{k}\rangle \end{matrice}}

- conform așteptărilor (revenind la locul vechi, trebuie să faceți o transpunere, respectiv să schimbați semnul de același număr de ori). ${\hat {a_{i))}$ $ij-1$

Să definim operatorul limitei orientate a simplexului după cum urmează:

\partial _{k}\langle a_{0},...~a_{k}\rangle =\sum (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\hat {a_ {i}}},...~a_{k}\rangle

Luând operatorul limită se reduce dimensiunea cu 1. Pentru un simplex 0-dimensional (puncte), considerăm . Prin liniaritate, extindem operatorul la orice lanț. Proprietatea principală a operatorului de limită este următoarea: $A$ $\partial{A}=0$ $\parțial$

\partial _{k-1}\partial _{k}=0

Aplicarea la un simplex are ca rezultat eliminarea a două vârfuri ale acestuia din urmă. Să presupunem că . $\partial _{k-1}\partial _{k}$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $j<i$

Simplexul este inclus în rezultatul primei acțiuni a operatorului cu semnul , dar cu semnul , deoarece la îndepărtare vârful nu se va mai afla pe locul -, ci pe - . Aceste semne sunt opuse, ceea ce înseamnă că va fi egal cu zero pentru orice simplex și prin liniaritate - pentru orice lanț. $\langle a_{0},...~{\hat {a_{j}}},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ $(-1)^{i}\partial \langle {\hat {a_{i))}\rangle$ $(-1)^{i+j}$ $(-1)^{j}\partial \langle {\hat {a_{j))}\rangle$ $(-1)^{i+j-1}$ ${\hat {a_{j))}$ ${\hat {a_{i))}$ $i$ $(i-1)$ $\partial _{k-1}\partial _{k}$

Omologie simplă pe complexe și poliedre

Un poliedru este o unire de poliedre.

Împărțind poliedrele în simplexe, obținem un complex simplist.

Omologia simplă este introdusă pe complexe și poliedre după cum urmează:

Se consideră grupul de lanțuri de dimensiune din simplecele complexului nostru , notate cu . $k$ $K$ $C_{k}(K)$

Un lanț pe care valoarea operatorului limită este egală cu zero (cu alte cuvinte, ) se numește ciclu ; să notăm setul lor . $c$ $\partial _{k}c=0$ $c\in \operatorname {Ker} \;\partial _{k}$ $Z_{k}(K)$

Dacă pentru un lanț ține (cu alte cuvinte, ), atunci lanțul se numește graniță ; setul de limite va fi notat cu . $c'$ $c=\partial _{k+1}c'$ $c\in \operatorname {Im} \;\partial _{k+1}$ $c$ $B_{k}(K)$

Deoarece operatorul este liniar, atât granițele cât și ciclurile formează subgrupuri ale grupului de lanț. Din faptul că este clar că orice graniță este un ciclu, adică . $\parțial$ $\partial \partial =0$ $B_{k}\subseteq Z_{k}$

Se spune că două fire sunt omoloage dacă diferă printr-o limită. Este înregistrată (adică ). $x\sim y$ $x=y+\partial z$

Grupul de factori se numește grupul de omologie simplială k-dimensională a complexului . $H_{k}=Z_{k}(K)/B_{k}(K)=\operatorname {Ker} \;\partial _{k}/\operatorname {Im} \;\partial _{k+1}$

Exemplu

Fie un complex unidimensional care este limita unui simplex (triunghi) bidimensional . Să-i găsim omologia. $S_{1}$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$

$B_{1}=0$ , deoarece nu există simplexe bidimensionale în complex. Prin urmare . Să aflăm acum când un lanț unidimensional poate fi un ciclu. $H_{1}=Z_{1}/B_{1}=Z_{1}$

Să luăm un lanț arbitrar . Avem: $c=x\langle a_{0},a_{1}\rangle +y\langle a_{1},a_{2}\rangle +z\langle a_{2},a_{0}\rangle$

\partial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle =0

Deci . Prin urmare, orice ciclu unidimensional are forma $zx=xy=yz=0;\quad x=y=z$ $c$

x(\langle a_{0},a_{1}\rangle +\langle a_{1},a_{2}\rangle +\langle a_{2},a_{0}\rangle )

înseamnă că există pur și simplu un grup ciclic infinit . $H_{1}=Z_{1}$ $\mathbb {Z}$

Să găsim omologie zero-dimensională. De când , atunci . Din egalitate rezultă că și diferă prin graniță. În mod similar , și diferă prin graniță, prin urmare, până la graniță, orice lanț zero-dimensional are forma . Adică este pur și simplu un grup ciclic infinit . Dacă ea însăși este o graniță, adică , atunci avem aceea , și deci . $\partial _{0}=0$ $Z_{0}=C_{0}$ $\partial \langle a_{0},a_{1}\rangle =\langle a_{1}\rangle -\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{2}\rangle$ $t\langle a_{0}\rangle$ $C_{0}$ $\mathbb {Z}$ $t\langle a_{0}\rangle =\partial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle$ $xy=yz=0;\quad x=y=z;\quad t=zx=0$ $B_{0}=0$ $H_{0}=C_{0}/B_{0}=\mathbb {Z}$

Deci, pentru limita simplexului bidimensional . $H_{0}=H_{1}=\mathbb {Z}$

Unele proprietăți ale omologiei

Dacă este definită omologia unui complex , atunci ele sunt considerate și omologia poliedrului corespunzător acestui complex. $K$ $|K|$

Totuși, trebuie dovedită independența grupurilor de omologie față de alegerea triangulației.

Se poate dovedi că un homomorfism corespunde unei mapări continue a poliedrelor , iar această corespondență, după cum se spune, este functorială , adică o compoziție de mapări continue corespunde unei compoziții de homomorfisme ale grupurilor de omologie , iar o mapare identică corespunde un homomorfism identic . $f:|K|\la |L|$ $f_{*}:H_{k}(K)\la H_{k}(L)$ $(fg)_{*}=f_{*}g_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$

Dacă complexul constă dintr-un număr finit de simplexe, atunci grupul de omologie va avea un număr finit de generatoare.

În acest caz, este reprezentat ca o sumă directă a mai multor instanțe ale grupului de numere întregi (numărul lor, adică rangul grupului de omologie se numește numărul Betti ) și a grupurilor ciclice finite în care fiecare este un divizor (aceste numere ). se numesc coeficienți de torsiune ). Numărul Betti și coeficienții de torsiune sunt determinați în mod unic. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{a_{0}},\mathbb {Z} _{a_{1}},...~\mathbb {Z} _{a_{i}},...~\mathbb { Z} _{a_{k}}$ $a_{i}$ $a_{i-1}$

Inițial , A. Poincaré tocmai le-a introdus pentru a caracteriza proprietățile topologice.

E. Noether a arătat importanța trecerii la studiul grupurilor de omologie în sine.

Literatură

Pontryagin L. S. Fundamentele topologiei combinatorii. — M .: Nauka, 1986
Steenrod N., Eilenberg S. Fundamentele topologiei algebrice. - M. : Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Un curs de topologie homotopică. — M .: Nauka, 1989