Seminorm

Semi -normă sau pre -normă este o generalizare a conceptului de normă ; spre deosebire de acesta din urmă, seminorma poate dispărea pe elemente diferite de zero ale spațiului.

Definiție

Un seminorm este o funcție nenegativă , într-un spațiu liniar peste câmpul numerelor reale sau complexe , care îndeplinește următoarele condiții: $p\colon L \to\R$ $L$

Uniformitate absolută : pentru orice scalar $p(\alpha x)=|\alpha|p(x)$ $\alfa$
Inegalitatea triunghiului : pentru toți $p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)$ $x, y \în L$

Spațiul se numește spațiu semi-normat. ${(L,\;p)}$

Proprietăți

$p(0)=0$

Această proprietate rezultă din prima condiție de definiție și egalitate , aici primul zero aparține câmpului numerelor reale sau complexe, iar al doilea și al treilea aparțin spațiului :

0_{\R} \cdot 0_L = 0_L

L

p(0_L)=p(0_\R \cdot 0_L) = |0_\R| \cdot p(0_L) = 0_\R

(de unde rezultă din liniaritate )

0_L = 0_\R\cdot 0_L

L

$p(x)=p(-x)$

Această proprietate se obține și din prima condiție la .

\alpha = -1

$p(x) \geqslant 0$

Dacă presupunem existența unui astfel de că , atunci din prima condiție a definiției rezultă că și . Folosind a doua condiție, obținem o contradicție cu prima proprietate.

x^{*}

p(x^*) < 0

p(-x^*) < 0

p(0) = p(x^*-x^*) \leqslant p(x^*) + p(-x^*) < 0

Literatură

Rudin W. Analiza funcțională, trad. din engleză, - M. , 1975.