Modul semi-simplu

Modulele semisimple ( module complet reductibile ) sunt module algebrice generale care pot fi ușor restaurate din părțile lor. Un inel care este un modul semisimplu peste el însuși se numește inel semisimplu artinian . Un exemplu important de inel semisimplu este inelul de grup al unui grup finit peste un câmp cu caracteristica zero. Structura inelelor semisimple este descrisă de teorema Wedderburn-Artin : toate aceste inele sunt produse directe ale inelelor matriceale .

Definiție

Sunt date trei definiții echivalente [1] ale unui modul semisimplu (complet reductibil): un modul M este semisimplu dacă

1. M este izomorf la o sumă directă de module simple (numite și ireductibile).
2. M poate fi descompus într-o sumă directă de submodule simple ale lui M .
3. Pentru fiecare N  submodul M , există un complement P astfel încât M = N ⊕ P .

Reductibilitatea completă este o condiție mai puternică decât complet descomposabil: un modul complet descomposabil  este un modul care se descompune într-o sumă directă de indecomposabil . De exemplu, inelul de numere întregi este complet descomposabil (asta decurge din indecompunebilitatea sa), dar nu este complet reductibil, deoarece are submodule (de exemplu, mulțimea numerelor pare).

Proprietăți

• Dacă M este semisimplu și N  este submodulul său , atunci N și M / N sunt de asemenea semisimpli.
• Dacă toate  sunt module semisimple, atunci suma directă este și semisimple.
• Modulul M este finit generat și semisimplu dacă și numai dacă este artinian și radicalul său este zero.

Inele semi-simple

Se spune că un inel este semisimplu (stânga) dacă este semisimplu ca modul (stânga) peste el însuși. Se dovedește că inelele semisimple din stânga sunt semisimple din dreapta și invers, așa că putem vorbi de inele semisimple.

Inelele semisimple pot fi caracterizate în termeni de algebră omologică : un inel R este semisimplu dacă și numai dacă fiecare secvență exactă scurtă de module R (stânga) se împarte . În special, un modul peste un inel semisimplu este injectiv și proiectiv .

Inelele semisimple sunt atât artiniane , cât și noetheriene . Dacă există un homomorfism de la un câmp la un inel semisimplu, acesta se numește algebră semisimplu .

Exemple

• Un inel semisimplu comutativ este izomorf cu un produs direct al câmpurilor.
• Dacă k  este un câmp și G  este un grup finit de ordin n , atunci inelul de grup k [ G ] este semisimplu dacă și numai dacă caracteristica câmpului nu împarte n . Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema lui Maschke și este important în teoria reprezentării grupurilor .

Teorema Wedderburn-Artin

Teorema Wedderburn-Artin afirmă că orice inel semisimplu este izomorf cu produsul direct al inelelor matriceale n i cu n i cu elemente din corpul D i , iar numerele n i sunt definite în mod unic, iar corpurile sunt unice până la izomorfism. În particular, un inel simplu este izomorf cu un inel de matrice peste un inel de diviziune.

Rezultatul inițial al lui Wedderburn a fost că un inel simplu, care este o algebră simplă de dimensiuni finite peste un inel de diviziune, este izomorf cu un inel de matrice. Emil Artin a generalizat teorema la cazul inelelor semisimple (artiniene).

Exemple de cazuri în care se poate aplica teorema Wedderburn-Artin: fiecare algebră simplă finită-dimensională peste R este un inel matriceal peste R , C sau H ( cuaternioni ), fiecare algebră simplă finite-dimensională peste C este un inel matriceal peste C .

Note

1. ↑ Nathan Jacobson, Basic Algebra II (Ediția a doua), p.120

Literatură

• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (ed. a doua), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5 
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (ed. a doua), Berlin, New York: Springer-Verlag , MR : 1838439 , ISBN 978-0-387-95325-0 
• RS Pierce. Algebre asociative . Texte pentru absolvenți în matematică vol. 88.