Independență în perechi

În teoria probabilității , un set independent de perechi de variabile aleatoare este un set de variabile aleatoare, dintre care orice pereche este independentă [1] . Orice colecție de variabile aleatoare care sunt independente în populație este independentă pe perechi, dar nu toate colecțiile independente pe perechi sunt independente în populație. Variabile aleatoare independente pe perechi cu varianță finită nu sunt corelate .

În practică, cu excepția cazului în care se deduce din context, independența este considerată ca fiind independența în ansamblu . Astfel, o propoziție de forma „ , , sunt variabile aleatoare independente” înseamnă că , , sunt independente în agregat. $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$

Exemplu

Independența colectivă nu rezultă din independența pe perechi, așa cum se arată în exemplul următor atribuit lui S. N. Bernshtein [2]

Fie variabilele aleatoare și notează două aruncări independente de monede. Să presupunem că 1 înseamnă capete, 0 - cozi. Fie o variabilă aleatorie egală cu 1 dacă exact una dintre cele două aruncări de monede a dus la cap și 0 în caz contrar. Atunci triplul are următoarea distribuție de probabilitate : $X$ $Y$ $Z$ $(X,\;Y,\;Z)$

$(X,Y,Z)=$	$\left\{{\begin{matrice}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrice}}\right.$	$(0,\;0,\;0)$ cu probabilitate 1/4,
		$(0,\;1,\;1)$ cu probabilitate 1/4,
		$(1,\;0,\;1)$ cu probabilitate 1/4,
		$(1,\;1,\;0)$ cu probabilitate 1/4.

Rețineți că distribuțiile fiecărei variabile aleatoare în mod individual sunt egale: și . Distribuțiile oricăror perechi ale acestor mărimi sunt de asemenea egale: , unde $f_{X}(0)=f_{Y}(0)=f_{Z}(0)=1/2$ $f_{X}(1)=f_{Y}(1)=f_{Z}(1)=1/2$ $f_{X,\;Y}=f_{X,\;Z}=f_{Y,\;Z)$ $f_{X,\;Y}(0,\;0)=f_{X,\;Y}(0,\;1)=f_{X,\;Y}(1,\;0) =f_{X,\;Y}(1,\;1)=1/4.$

Deoarece fiecare dintre distribuțiile comune pe perechi este egală cu produsul distribuțiilor lor marginale respective, variabilele aleatoare sunt independente pe perechi:

$X$ si independenta $Y$
$X$ si independenta $Z$
$Y$ si independenta. $Z$

În ciuda acestui fapt, , și nu sunt colectiv independente , deoarece . Pentru partea stângă este 1/4, iar partea dreaptă este 1/8. Mai mult, oricare dintre cele trei variabile aleatoare și este determinată în mod unic de celelalte două și este egală cu suma lor luată modulo 2 . $X$ $Y$ $Z$ $f_{X,\;Y,\;Z}(x,\;y,\;z)\neq f_{X}(x)f_{Y}(y)f_{Z}(z)$ $(X,\;Y,\;Z)=(0,\;0,\;0)$ $X$ $Y$ $Z$

Generalizare

În cazul general, pentru oricine se poate vorbi de independenţă -ariană. Ideea este similară: un set de variabile aleatoare este -arno independent dacă orice submulțime a cardinalității sale este colectiv independentă. Independența -ary a fost folosită în informatica teoretică pentru a demonstra teorema problemei MAXEkSAT . $n\geqslant 2$ $n$ $n$ $n$ $n$

Vezi și

in perechi
Familii disjunctive în perechi de mulțimi

Link -uri

↑ Gut, A. Probabilitate: un curs de absolvire . - Springer-Verlag , 2005. - ISBN 0-387-27332-8 . pp. 71-72.
↑ Hogg RV, McKean JW, Craig AT Introducere în statistica matematică (nedefinit) . - 6. - Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall , 2005. - ISBN 0-13-008507-3 . Observația 2.6.1, p. 120.