Kirchhoff guvernează

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 decembrie 2019; verificările necesită 9 modificări .

Regulile lui Kirchhoff (deseori numite Legile lui Kirchhoff în literatura tehnică ) sunt relațiile care se mențin între curenți și tensiuni în secțiuni ale oricărui circuit electric .

Soluțiile sistemelor de ecuații liniare , compilate pe baza regulilor lui Kirchhoff, vă permit să găsiți toți curenții și tensiunile din circuitele electrice de curent continuu, alternativ și cvasi-staționar [1] .

Ele sunt de o importanță deosebită în inginerie electrică datorită versatilității lor, deoarece sunt potrivite pentru rezolvarea multor probleme din teoria circuitelor electrice și calculele practice ale circuitelor electrice complexe.

Aplicarea regulilor lui Kirchhoff la un circuit electric liniar face posibilă obținerea unui sistem de ecuații liniare pentru curenți sau tensiuni și, în consecință, la rezolvarea acestui sistem, găsirea valorilor curenților în toate ramurile circuitului și toate internodale. tensiuni.

Formulat de Gustav Kirchhoff în 1845 [2] .

Denumirea „Reguli” este mai corectă deoarece aceste reguli nu sunt legi fundamentale ale naturii, ci decurg din legile fundamentale ale conservării sarcinii și iritației câmpului electrostatic ( a treia ecuație a lui Maxwell pentru un câmp magnetic constant). Aceste reguli nu trebuie confundate cu alte două legi ale lui Kirchhoff în chimie și fizică .

Formularea regulilor

Definiții

Pentru a formula regulile lui Kirchhoff, sunt introduse conceptele de nod , ramură și circuit al unui circuit electric . O ramură este o secțiune a unui circuit electric cu același curent, de exemplu, în Fig. segmentul marcat R 1 , I 1 este ramura. Un nod este un punct de legătură din trei sau mai multe ramuri (indicat prin puncte aldine în figură). Un circuit este o cale închisă care trece prin mai multe ramuri și noduri ale unui circuit electric extins. Termenul de cale închisă înseamnă că, pornind de la un nod al lanțului și trecând prin mai multe ramuri și noduri o dată , puteți reveni la nodul original . Ramurile și nodurile parcurse în timpul unei astfel de ocolire se numesc de obicei aparținând acestui contur. În acest caz, trebuie avut în vedere că o ramură și un nod pot aparține mai multor contururi în același timp.

În ceea ce privește aceste definiții, regulile lui Kirchhoff sunt formulate după cum urmează.

Prima regulă

Prima regulă a lui Kirchhoff (regula curentă a lui Kirchhoff) spune că suma algebrică a curenților de ramificație care converg la fiecare nod din orice circuit este zero. În acest caz, curentul direcționat către nod este considerat a fi pozitiv, iar curentul direcționat din nod este negativ: Suma algebrică a curenților direcționați către nod este egală cu suma curenților direcționați din nod.

\sum \limits _{{j=1}}^{n}I_{j}=0.

Cu alte cuvinte, cât de mult curent curge în nod, atât de mult curge din el. Această regulă decurge din legea fundamentală a conservării sarcinii .

Cu toate acestea, atunci când se calculează, trebuie luat în considerare faptul că această regulă este aplicabilă numai în cazul unei capacități de nod neglijabile. În caz contrar, prima regulă poate fi încălcată, ceea ce este vizibil mai ales la curenții de înaltă frecvență.

A doua regulă

A doua regulă Kirchhoff (regula tensiunii Kirchhoff) afirmă că suma algebrică a tensiunilor de pe elementele rezistive ale unui circuit închis este egală cu suma algebrică a EMF inclusă în acest circuit. Dacă nu există surse EMF (generatoare de tensiune idealizate) în circuit, atunci căderea totală de tensiune este zero:

pentru tensiuni constante

\sum _{{k=1}}^{n}E_{k}=\sum _{{k=1}}^{m}U_{k}=\sum _{{k=1}}^{ m}R_{k}I_{k};

pentru tensiuni variabile

\sum _{{k=1}}^{n}e_{k}=\sum _{{k=1}}^{m}u_{k}=\sum _{{k=1}}^{ m}R_{k}i_{k}+\sum _{{k=1}}^{m}u_{{L\,k}}+\sum _{{k=1}}^{m}u_ {{C\,k}}.

Această regulă rezultă din a treia ecuație a lui Maxwell, în cazul particular al unui câmp magnetic staționar.

Cu alte cuvinte, atunci când circuitul este complet ocolit, potențialul, în schimbare, revine la valoarea sa inițială. Un caz special al celei de-a doua reguli pentru un circuit format dintr-un circuit este legea lui Ohm pentru acest circuit. Când elaborați ecuația tensiunii pentru buclă, trebuie să alegeți direcția pozitivă de ocolire a buclei. În acest caz, căderea de tensiune pe ramură este considerată pozitivă dacă direcția de ocolire a acestei ramuri coincide cu direcția selectată anterior a curentului de ramură, iar negativă - în caz contrar (vezi mai jos).

Regulile lui Kirchhoff sunt valabile pentru circuitele liniarizate liniare și neliniare pentru orice natură a schimbării în timp a curenților și tensiunilor.

Caracteristici ale întocmirii ecuațiilor pentru calcularea curenților și tensiunilor

Dacă circuitul conține noduri, atunci este descris de ecuațiile curenților. Această regulă poate fi aplicată și altor fenomene fizice (de exemplu, un sistem de conducte de lichid sau gaze cu pompe), în care legea conservării particulelor din mediu și a fluxului acestor particule este îndeplinită. $p$ $p-1$

Dacă circuitul conține ramuri, dintre care ramurile conțin surse de curent în valoare de , atunci este descris de ecuațiile de tensiune. $m$ $m_i$ $m-m_{i}-(p-1)$

Regulile lui Kirchhoff, scrise pentru nodurile sau circuitele unui circuit, dau un sistem complet de ecuații liniare care vă permite să găsiți toți curenții și toate tensiunile. $p-1$ $m-(p-1)$
Înainte de a scrie ecuațiile, trebuie să alegeți în mod arbitrar:
- direcțiile pozitive ale curenților în ramuri și desemnați-le pe diagramă, deși nu este necesar să vă asigurați că direcțiile curenților din nod sunt atât de intrare, cât și de ieșire, soluția finală a sistemului de ecuații va da în continuare semnele corecte de curenții nodului;
- direcțiile pozitive de ocolire a contururilor pentru compilarea ecuațiilor conform celei de-a doua legi, de dragul uniformității, se recomandă ca direcțiile pozitive de ocolire să fie alese la fel pentru toate contururile (de exemplu: în sensul acelor de ceasornic).
Dacă direcția curentului este aceeași cu direcția de bypass al buclei (care este aleasă în mod arbitrar), căderea de tensiune este considerată pozitivă, în caz contrar este negativă.
Când se scriu ecuații liniar independente conform celei de-a doua reguli Kirchhoff, ei se străduiesc ca fiecare contur nou pentru care este compusă ecuația să includă cel puțin o ramură nouă care nu este inclusă în contururile anterioare pentru care ecuațiile au fost deja scrise conform celei de-a doua. lege ( o condiție suficientă, dar nu necesară ).
În graficele complexe neplanare ale circuitelor electrice, este dificil pentru o persoană să vadă circuite și noduri independente, fiecare circuit (nod) independent, atunci când alcătuiește un sistem de ecuații, generează încă 1 ecuație liniară în sistemul de ecuații liniare care definește problema. Numărarea numărului de contururi independente și indicarea lor explicită într-un anumit grafic este dezvoltată în teoria grafurilor .

Exemplu

Număr de noduri: 3.

$p-1=2$

Număr de ramificații (în circuite închise): 4. Număr de ramuri care conțin o sursă de curent: 0.

$m-m_{i}-(p-1)=2$

Numar de circuite: 2.

Pentru circuitul prezentat în figură, în conformitate cu prima regulă, sunt valabile următoarele relații:

{\begin{cases}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0\end{cases))

Rețineți că trebuie aleasă o direcție pozitivă pentru fiecare nod, de exemplu aici curenții care curg într-un nod sunt considerați pozitivi și curenții care ies negativi.

Soluția sistemului liniar rezultat de ecuații algebrice vă permite să determinați toți curenții nodurilor și ramurilor, această abordare a analizei circuitelor este denumită în mod obișnuit metoda curenților buclei .

În conformitate cu a doua regulă, următoarele relații sunt adevărate:

{\begin{cases}U_{2}+U_{4}-U_{6}=0\\U_{3}+U_{5}-U_{4}=0\end{cases))

Sistemele de ecuații rezultate descriu complet circuitul analizat, iar soluțiile lor determină toți curenții și toate tensiunile ramurilor. Această abordare a analizei circuitelor este denumită în mod obișnuit metoda potențialelor nodale .

Despre importanța pentru inginerie electrică

Regulile lui Kirchhoff sunt de natură aplicată și permit, împreună cu și în combinație cu alte metode și metode ( metoda generatorului echivalent , principiul suprapunerii , metoda de întocmire a diagramei potențiale), să rezolve probleme de inginerie electrică. Regulile lui Kirchhoff au găsit o aplicare largă datorită simplității formulării ecuațiilor și posibilității de a le rezolva folosind metode standard de algebră liniară ( metoda lui Cramer , metoda lui Gauss etc.).

Sensul în matematică

Prima regulă a lui Kirchhoff poate fi formulată sub formă de matrice. Și anume, să fie circuitul electric format din noduri. Să facem o matrice , unde pentru este conductivitatea ramurii care leagă nodurile cu numere și (dacă nu sunt conectate, le puteți conecta mental cu o ramură de conductivitate zero). In acelasi timp . Fie un potențial, pe care îl considerăm ca o funcție definită pe mulțimea de noduri (sau, ceea ce este același, un vector în spațiu -dimensional ). Apoi, după definiția conductivității, avem , unde este curentul din ramura care merge de la vârf la vârf . Prin urmare, prima regulă Kirchhoff pentru nodul --lea poate fi scrisă ca , sau , sau, având în vedere definiția elementelor diagonale ale matricei, ca . În partea stângă a egalității, este ușor să aflați coordonatele produsului matricei și vectorului coloană . $n$ $A=\{a_{ij}\}_{i,j=1}^{n}$ $a_{{ij}}$ $eu \neq j$ $i$ $j$ $a_{jj}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}(-a_{ij})$ $\varphi$ $\mathbf {u} =(\varphi _{1},\varphi _{2},\dots,\varphi _{n})$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $I_{ij}=a_{ij}(\varphi _{i}-\varphi _{j})$ $I_{ij}$ $i$ $j$ $j$ $\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}I_{ij}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}(\ varphi _{i}-\varphi _{j})=0$ $\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+\left(\sum _{i=1,~i\neq j}^ {n}(-a_{ij})\right)\varphi _{j}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+a_ {jj}\varphi _{j}=0$ $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\varphi _{i}=0$ $A$ $\mathbf {u}$

Deci, prima regulă a lui Kirchhoff sub formă de matrice este:

${\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{21}&\dots &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\dots &a_{n2}\\...&... &...&...\\a_{1n}&a_{2n}&\dots &a_{nn}\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2 }\\...\\\varphi _{n}\end{Vmatrix}}=0\Leftrightarrow A^{T}\mathbf {u} =\mathbf {0}$ .

În această formă, poate fi generalizat la suprafețe conductoare. La o suprafață curbată, conductivitatea depinde nu numai de punct, ci și de direcție. Cu alte cuvinte, conductivitatea este o funcție pe vectorii tangenți la suprafață. Dacă presupunem că pe spațiile tangente este bine aproximată printr-o formă pătratică definită pozitiv, putem vorbi despre ea ca pe o metrică riemanniană (care diferă de distanța de pe suprafață ca pe o formă geometrică care ține cont de nonizotropia ei electrice). proprietăți). Fiecare punct al suprafeței poate servi drept nod și, prin urmare, potențialul nu va mai fi un vector, ci o funcție pe suprafață. Analogul matricei de conductivități va fi operatorul Laplace-Beltrami al conductivității metrice, care acționează asupra spațiului funcțiilor netede. Prima regulă a lui Kirchhoff pentru o suprafață spune exact la fel: . Cu alte cuvinte, potențialul este o funcție armonică . $g$ $u$ $\Delta _{g)$ $\Delta _{g}u=0$

În acest sens, matricea asociată cu un grafic ponderat arbitrar , cu excepția diagonalei egale cu matricea de adiacență , este uneori numită Laplacianul discret . Analogii teoremelor asupra funcțiilor armonice, cum ar fi existența unei funcții armonice într-un domeniu cu o limită pentru valori date la graniță, obținute prin convoluție cu un nucleu, au loc și pentru funcții armonice discrete. În schimb, o suprafață conducătoare poate fi aproximată printr-o rețea de rezistențe, iar funcțiile armonice discrete de pe această rețea aproximează funcțiile armonice de pe suprafața corespunzătoare. Integratorul Gershgorin se bazează pe această circumstanță , un computer analog folosit pentru a rezolva ecuația Laplace în anii 30-70 ai secolului XX. $A$

În cazul unei suprafețe conducătoare, în loc de o diferență de potențial, are sens să vorbim despre o formă 1 . Câmpul vectorial asociat acestuia cu ajutorul metricii conductivității este curentul electric de pe această suprafață. Conform primei reguli a lui Kirchhoff, această formă 1 este și armonică (adică se află în miezul Hodge Laplacian definit pe forme diferențiale). Acest lucru dă un indiciu asupra modului în care se formulează corect legea lui Kirchhoff pentru cazul în care câmpul nu este potențial: și anume, forma 1 obținută din curent, considerat ca un câmp vectorial, prin conductivitate, considerată ca metrică riemanniană, trebuie să fie armonic. Cunoscând forța electromotoare în jurul fiecărui contur topologic netrivial de pe suprafață, este posibil să se restabilească puterea și direcția curentului în fiecare punct, în plus, într-un mod unic. În special, dimensiunea spațiului tuturor curenților posibili este egală cu dimensiunea spațiului contururilor topologic netriviale. Acest fapt a fost unul dintre motivele descoperirii dualității Poincaré ; faptul că forțele electromotoare determină în mod unic curentul (armonică 1-formă) este un caz particular al teoriei Hodge pentru 1-forme (teoria Hodge afirmă că pe o varietate riemanniană, fiecare clasă de coomologie de Rham este reprezentată printr-o formă armonică, și doar unul la asta). $du$ $\mathrm {grad} _{g}(u)$

Legea radiației lui Kirchhoff

Legea radiației lui Kirchhoff spune că raportul dintre emisivitatea oricărui corp și capacitatea sa de absorbție este același pentru toate corpurile la o anumită temperatură pentru o anumită frecvență pentru radiația de echilibru și nu depinde de forma lor, compoziția chimică etc.

Legea lui Kirchhoff în chimie

Legea lui Kirchhoff afirmă că coeficientul de temperatură al efectului termic al unei reacții chimice este egal cu modificarea capacității termice a sistemului în timpul reacției.

Note

↑ Regulile lui Kirchhoff - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .
↑ Gustav Robert Kirchhoff . Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige . - 1845. - S. 497-514 .

Literatură

Matveev A. N. Electricitate și magnetism: un manual. - M . : Şcoala superioară, 1983. - 463 p.
Kalashnikov S. G. Electricitate: un manual. - M. : Fizmatlit, 2003. - 625 p.
Bessonov L. A. Fundamentele teoretice ale ingineriei electrice. Circuite electrice. — ediția a XI-a. — M .: Gardariki, 2007.
Gerasimov V. G., Kuznetsov E. V., Nikolaeva O. V. Inginerie electrică și electronică. Carte. 1. Circuite electrice și magnetice. - M. : Energoatomizdat, 1996. - 288 p. — ISBN 5-283-05005-X .