Coomologie De Rham

Coomologia De Rham este o teorie a coomologiei bazată pe forme diferențiale și aplicată în teoriile varietăților netede și algebrice .

Numit după matematicianul elvețian de Rham . Grupul de coomologie de Rham -dimensional al unei varietăți este de obicei notat . $k$ $M$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{k}(M)$

Smooth manifolds

Definiții

Prin complexul cochain

Un complex de Rham este un complex colanț de forme diferențiale exterioare pe o varietate netedă cu un diferențial exterior ca diferențial. $M$ $d\,^{k}$

0\to \Omega ^{0}(M){\stackrel {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{ \to }}\Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\to }}\Omega ^{3}(M)\to \ldots

Aici este spațiul funcțiilor netede pe , este spațiul 1-forme , adică este spațiul -formelor. Rețineți că . -grupul de coomologie dimensională a acestui complex cochain este măsura exactității sale în termenul --lea și este definit ca $\Omega ^{0}(M)$ $M$ $\Omega ^{1}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$ $k$ $d^{k+1}d^{k}=0$ $k$ $H^{k}$ $k$

H^{k}(\Omega ^{\bullet},\;d^{\bullet })=\operatorname {Ker} d^{k}/\operatorname {Im} d^{k-1} .

Forma se numește închisă dacă , în acest caz . $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $d^{k}\alpha =0$ $\alpha \in \operatorname {Ker} d^{k)$
O formă se numește exact dacă , pentru unii , adică . $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $\alpha =d^{k-1}\gamma$ $\gamma \in \Omega ^{k-1)$ $\alpha \in \operatorname {Im} d^{k-1}$

Rețineți că fiecare formă exactă este închisă.

Ca o clasă de echivalență a formelor

Mai geometric, ideea coomologiei de Rham este de a clasifica formele închise pe o varietate: două forme închise și se spune că sunt coomologice dacă diferă printr-o formă exactă, adică diferența lor este o formă exactă. Această definiție generează o relație de echivalență pe mulțimea formelor închise în . $\alfa$ $\beta$ $\Omega ^{k}(M)$ $\alpha -\beta =d\gamma$ $\Omega ^{k}(M)$

Clasa coomologică a unei forme este mulțimea tuturor formelor închise care diferă printr-o formă exactă, adică mulțimea formelor formei . $[\alfa]$ $\alfa$ $\alfa$ $\alpha +d\gamma$

$k$ Grupul de coomologie de Rham -dimensional este grupul de coeficient al tuturor formelor închise în subgrupul de forme exacte. $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$

Rețineți că pentru un colector cu componente conectate , $M$ $N$

H_{{\mathrm {dR}}}^{0}(M)\cong {\mathbf {R}}^{N}.

Într-adevăr, formele de gradul 0 sunt funcții scalare. Închiderea înseamnă că funcțiile au derivată zero, adică sunt constante pe fiecare componentă conexă a varietatii.

Teorema lui De Rham

Teorema lui Stokes este o expresie a dualității dintre coomologia de Rham și omologia complexului de lanț . Și anume, consecința cheie a teoremei este că „ integralele unei forme închise peste lanțuri omoloage sunt egale”: dacă este o formă închisă și și sunt lanțuri omoloage (adică este limita unui lanț -dimensional ) , apoi $\omega$ $k$ $M$ $N$ $k$ $MN$ $(k+1)$ $W$

\int \limits _{M}\omega =\int \limits _{N}\omega ,

întrucât diferența lor este o integrală

\int \limits _{{\partial W}}\omega =\int \limits _{W}\,d\omega =\int \limits _{W}0=0.

Astfel, împerecherea formelor și lanțurilor diferențiale prin integrare definește un homomorfism de la coomologia de Rham la grupul de coomologie singular . Teorema lui De Rham , demonstrată de Georges de Rham în 1931, afirmă că pe varietăți netede această mapare este un izomorfism : $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$

H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)\cong H^{k}(M;\;{\mathbf R}).

Produsul exterior dotează suma directă a grupurilor cu structura unui inel . O structură similară în coomologie singulară este dată de -multiplicare . Teorema lui De Rham afirmă, de asemenea, că aceste două inele de coomologie sunt izomorfe ca inele gradate . $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$ $\zâmbet$

Varietăți algebrice

Definiție

Destul de analog cu cazul neted, fiecare varietate algebrică dintr-un câmp este asociată cu un complex de forme diferențiale regulate . $X$ $k$

Grupurile de coomologie de Rham ale unei varietăți sunt numite grupuri de coomologie . $X$ $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/k)$

Cazuri speciale de coomologie de Rham

Dacă este o varietate netedă și completă și caracteristica este un câmp , atunci coomologia de Rham este o coomologie Weil . $X$ ${\mathrm {car}}\,k=0$
Dacă varietatea este o varietate afină netedă , iar câmpul este, atunci următorul analog al teoremei lui de Rham este adevărat : $X$ $k=\mathbb {C}$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{{an}},\;{\mathbb {C}}),$

unde este varietatea analitică complexă corespunzătoare varietății algebrice .

X_{{an}}

X

De exemplu, dacă este complementul unei hipersuprafețe algebrice la , atunci coomologia poate fi calculată folosind forme diferențiale raționale cu poli pe această suprafață. $X$ $P^{n}(\mathbb {C} )$ $H^{p}(X,\;\mathbb {C} )$ $P^{n}(\mathbb {C} )$

Coomologie relativă de Rham

Pentru orice morfism , se poate defini așa-numitul complex relativ de Rham $f\coloan X\la S$

\sum _{{p\leqslant 0}}\Gamma (\Omega _{{X/S}}^{p}),

conducând la coomologie relativă de Rham . $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$

Dacă soiul este spectrul inelului și , atunci complexul relativ de Rham coincide cu . $X$ ${\mathrm {Spec.}}\,A$ $S={\mathrm {Spec.}}\,B$ $\Lambda \Omega _{{A/B}}^{1}$

Coomologia unui complex de snopi se numește coomologie relativă de Rham . Dacă este un morfism adecvat, atunci aceste snopi sunt coerente pe . ${\mathcal {H}}_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$ $\sum _{{p\leqslant 0}}f_{*}\Omega _{{X/S}}^{p}$ $S$ $f$ $S$

Literatură

Bott, R., Tu, L. V. Forme diferențiale în topologia algebrică. — M .: Platon, 1997. — 336 p. - ISBN 5-80100-280-4 . .
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometrie modernă: metode ale teoriei omologiei. — M .: Nauka, 1984. — 343 p.
de Ram, J. Differentiable varieties = Varietes differentiables. — M.: KomKniga, 2006. — 250 p. — ISBN 5-484-00341-5 . .