Teorema lui Descartes

Teorema lui Descartes sau regula semnelor lui Descartes , - o teoremă care afirmă că numărul de rădăcini pozitive ale unui polinom cu coeficienți reali este egal cu numărul de modificări de semn în seria coeficienților săi sau un număr par mai mic decât acest număr ( rădăcinile sunt numărate ținând cont de multiplicitate, nu se iau în considerare coeficienții zero la numărarea numărului de modificări de semn).

Dacă se știe că toate rădăcinile unui polinom dat sunt reale (ca, de exemplu, pentru polinomul caracteristic al unei matrice simetrice), atunci teorema lui Descartes dă numărul exact de rădăcini. Luând în considerare un polinom , puteți folosi aceeași teoremă pentru a afla numărul de rădăcini negative . $f(-x)$ $f(x)$

Dovada

Notați prin numărul de rădăcini pozitive ale polinomului și cu numărul de modificări de semn în succesiunea coeficienților săi. Evident, aceste valori nu se modifică dacă polinomul este înmulțit cu , deci putem presupune că coeficientul de conducere este pozitiv fără pierderea generalității. În plus, dacă este o rădăcină a polinomului multiplicității , poate fi împărțită la , și din aceasta, evident, nici nu se va schimba. Datorită acestuia din urmă, putem presupune că nu este o rădăcină a polinomului, adică termenul liber al polinomului este diferit de zero. $N(f)$ $f$ $L(f)$ $-unu$ $f$ $0$ $f$ $k$ $f$ $x^{k)$ $N(f)$ $L(f)$ $0$ $f$

Să demonstrăm succesiv mai multe leme:

Lema 1

$N(f)\equiv L(f){\pmod {2))$

Dovada: Să fie un termen liber . Apoi . Deoarece prin condiție termenul conducător este pozitiv, putem afirma că valoarea lui , pentru x suficient de mare. Dacă vă deplasați de-a lungul liniei numerice la dreapta, atunci când treceți rădăcina polinomului multiplicității , semnul se schimbă în . Prin urmare, numărul de rădăcini pozitive, ținând cont de multiplicitate, este par dacă , și impar dacă invers. Acest semn este determinat de pozitivitate sau negativitate . De asemenea, este evident că, deoarece coeficientul conducător al polinomului este pozitiv, paritatea depinde și de pozitivitatea termenului liber. Astfel se demonstrează lema. $A$ $f$ $f(0)=a$ $f$ $f(x)>0$ $f$ $k$ $f(x)$ $(-1)^{k)$ $f(0)>0$ $A$ $L(f)$

Lema 2

$N(f)\leqslant N(f')+1$

Demonstrație: Prin teorema lui Rolle , între oricare două rădăcini ale unui polinom se află rădăcina derivatei sale. În plus, fiecare rădăcină de multiplicitate a unui polinom este o rădăcină de multiplicitate a derivatei sale. De aici obținem . Q.E.D. $f$ $k$ $f$ $k-1$ $N(f')\geqslant N(f)-1$

Lema 3

$L(f')\leqslant L(f)$

Dovada: Evident, această caracteristică nu poate crește la diferențierea unui polinom.

Afirmație

Numărul de rădăcini negative ale polinomului este egal cu numărul de rădăcini pozitive ale polinomului , unde . $f$ $g(x)=(-1)^{n}f(-x)$ $n=\deg f$

Lema 4

$L(f)+L(g)\leqslant n$

Dovada: Coeficienții unui polinom se obțin din coeficienții unui polinom prin înmulțirea alternativă cu . Dacă presupunem că toți coeficienții polinomului sunt nenuli, atunci în locul în care a avut loc o schimbare de semn în seria lor, nu va exista nicio schimbare de semn în seria de coeficienți ai polinomului și invers - unde nu a fost y , va fi y . Prin urmare, în acest caz, suma numerelor de modificări de semn din aceste polinoame este exact egală cu . La înlocuirea unor coeficienți cu zerouri, numărul modificărilor de semn nu poate crește, prin urmare, în cazul general, avem: . Lema este dovedită. $g$ $f$ $\pm 1$ $f$ $g$ $f$ $g$ $n$ $L(f)+L(g)\leqslant n$

Demonstrarea teoremei

Să demonstrăm inegalitatea prin inducție pe . Baza de inducție: la , . Lasă . Apoi . Folosind lemele 2 și 3 și ipoteza inductivă că , obținem: . Totuși, egalitatea este imposibilă datorită Lemei 1. Și întrucât și sunt numere naturale, avem: . $N(f)\leqslant L(f)$ $\deg f$ $\deg f=0$ $N(f)=L(f)=0$ $\deg f=n>0$ $\deg f'=n-1$ $N(f')\leqslant L(f')$ $N(f)\leqslant N(f')+1\leqslant L(f')+1\leqslant L(f)+1$ $N(f)=L(f)+1$ $N(f)$ $L(f)$ $N(f)\leqslant L(f)$

Dacă toate rădăcinile polinomului sunt reale, atunci în virtutea inegalității dovedite și a Lemei 4 avem: . De unde, conform primei părți a teoremei, obținem: și , din care rezultă teorema. $f$ $n=N(f)+N(g)\leqslant L(f)+L(g)\leqslant n$ $N(f)=L(f)$ $N(g)=L(g)$

Istorie

Regula a fost descrisă pentru prima dată de Descartes în Geometry (1637) .

Vezi și

Seria lui Sturm