Teorema lui Rolle
Teorema lui Rolle ( teorema derivatei zero ) afirmă că
|
Dacă o funcție reală care este continuă pe un segment și diferențiabilă pe un interval ia aceleași valori la capetele segmentului , atunci există cel puțin un punct pe interval la care derivata funcției este egală cu zero. |
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Dovada
Dacă funcția de pe interval este constantă, atunci afirmația este evidentă, deoarece derivata funcției este egală cu zero în orice punct al intervalului.
Dacă nu, deoarece valorile funcției la punctele limită ale segmentului sunt egale, atunci, conform teoremei Weierstrass , își ia valoarea cea mai mare sau cea mai mică la un moment dat din interval, adică are un extremu local. în acest punct și după lema lui Fermat , derivata în acest punct este egală cu 0.
Sensul geometric
Teorema afirmă că dacă ordonatele ambelor capete ale unei curbe netede sunt egale, atunci există un punct pe curbă în care tangenta la curbă este paralelă cu axa x.
Consecințele
Dacă o funcție diferențiabilă dispare în puncte diferite, atunci derivata ei dispare cel puțin în puncte diferite [1] , iar aceste zerouri ale derivatei se află în învelișul convex al zerourilor funcției inițiale. Acest corolar este ușor de verificat în cazul rădăcinilor reale, dar este valabil și în cazul complex.
Dacă toate rădăcinile unui polinom de gradul al n-lea sunt reale, atunci rădăcinile tuturor derivatelor sale până la și inclusiv sunt, de asemenea, exclusiv reale.
O funcție diferențiabilă pe segmentul dintre cele două puncte ale sale are o tangentă paralelă cu secanta/coarda trasată prin aceste două puncte.
Vezi și
- Teorema lui Rolle generalizată
- Formula cu incrementare finită
- Teorema valorii medii Cauchy
Note
Literatură
- Fikhtengol's G.M. Fundamentele analizei matematice. - M . : " Nauka ", 1962. - T. 1. - S. 225. - 607 p.