Geometrie (Descartes)

Geometrie

Pagina titlu
informatii generale
Autor Rene Descartes
Tip de opera literară
Gen eseu
Versiunea originala
Nume fr.  La Geometrie
Limba limba franceza
Locul publicării Leiden
Anul publicării 1637
Pagini 106
Versiunea rusă
Interpret A. P. Iuşkevici
Comentator A. P. Iuşkevici
Locul publicării M.—L.
Editura Gostekhizdat
Anul publicării 1938
Pagini 297

„Geometrie” ( fr.  La Géométrie ) este opera lui René Descartes , publicată la Leiden (Olanda) în 1637 ca al treilea apendice la tratatul filozofic al lui Descartes „ Discurs asupra metodei ”. Număr de pagini: 106. Numele autorului nu a fost dat în prima ediție. Aceasta este singura lucrare a lui Descartes dedicată în întregime matematicii; a fost considerată de autor ca un exemplu de aplicare a metodelor sale generale. După 1637 Geometria a fost publicată separat de Discourse on Method [1] .

„Geometria” lui Descartes a devenit un punct de cotitură în dezvoltarea noii matematici; a fost o carte de referință pentru cei mai mari matematicieni ai secolului al XVII-lea. Valoarea sa principală a fost că cartea conținea o prezentare a unei noi secțiuni de matematică - geometrie analitică , care a făcut posibilă traducerea problemelor geometrice în limbaj algebric folosind un sistem de coordonate și, prin urmare, a simplificat foarte mult studiul și rezolvarea acestora. În plus, Descartes a folosit simbolismul matematic convenabil în Geometrie , care din acel moment a devenit general acceptat în știință. În cele din urmă, „Geometria” a început procesul de trecere a atenției matematicienilor de la studiul valorilor numerice la studiul relațiilor dintre ele - în terminologia modernă, funcții [2] .

Transformările revoluționare în matematică efectuate în „Geometrie” i-au permis lui Descartes să rezolve o serie de probleme care erau inaccesibile vechilor metode. Abordarea carteziană a servit ca bază pentru dezvoltarea analizei matematice până la sfârșitul secolului al XVII-lea de către Newton și Leibniz .

Fundal

Într-un fel, se poate spune că Descartes a inversat prioritățile algebrei și geometriei, corectând eroarea strategică a matematicienilor greci antici . În secolul al V-lea î.Hr e. a izbucnit prima criză a fundamentelor matematicii [3] - pitagoreicii au descoperit că diagonala unui pătrat este incomensurabilă cu latura lui, adică raportul lor ( ) nu poate fi exprimat nici printr-un număr natural , nici printr-o fracție . Cu toate acestea, matematicienii antici nu recunoșteau alte obiecte numerice, cu excepția numerelor naturale, chiar și o fracție a fost considerată de ei nu ca un număr, ci ca un raport ( proporție ). El a reușit să găsească o cale de ieșire în secolul al IV-lea î.Hr. e. Eudoxus din Cnidus - a introdus, alături de numere, conceptul de mărimi geometrice (lungimi, arii, volume). Pentru mărimile omogene au fost definite operații aritmetice similare cu cele numerice. Teoria lui Eudoxus a fost expusă de Euclid în a cincea carte a lui Principia și a fost folosită în Europa până în secolul al XVII-lea. Euclid a trebuit să demonstreze din nou teoremele despre numere separat pentru mărimi, iar aritmetica mărimilor a fost mult mai slabă decât aritmetica numerică, fie și numai pentru că se referea doar la mărimi omogene [4] [5] .

În timpurile moderne, a devenit clar că construirea algebrei numerice pe baza geometriei a fost o greșeală. De exemplu, din punct de vedere al geometriei, expresiile și nici măcar nu aveau o interpretare geometrică ( dimensiunea fizică a valorii rezultatului nu era definită) și, prin urmare, nu aveau sens; același lucru este valabil și pentru numerele negative [6] .

Descartes a luat o cale diferită - în loc să reducă algebra la geometrie, a redus geometria la algebră, iar această cale s-a dovedit a fi mult mai fructuoasă. Pentru a face acest lucru posibil, Descartes a extins conceptul de număr - a absorbit toate numerele reale , inclusiv pe cele iraționale , și este abstract , adică separat de geometrie [7] . Conceptul separat de mărime geometrică devine atunci de prisos. Algebrizarea geometriei a făcut posibilă și descoperirea unor trăsături comune în problemele geometrice care păreau a fi complet independente [8] [9] .

În combinație cu algebra simbolică a lui François Vieta și sistemul de notație algebrică, care era bine dezvoltat la acea vreme (la care a luat parte însuși Descartes), această inovație a făcut posibilă realizarea unor studii matematice de o profunzime și o generalitate fără precedent. . Pentru prima dată, Descartes a schițat un plan pentru o astfel de reformă a matematicii pe 26 martie 1619, într-o scrisoare către matematicianul olandez Isaac Beckmann . Material suplimentar primit de Descartes în cursul studiilor sale în optică [10] .

Predecesori

Descartes practic nu se referă la lucrările altor oameni de știință din geometrie, care le-au dat lui Wallis și altor câțiva matematicieni un motiv pentru a-l acuza că a plagiat ideile altor algebriști, în special, Harriot și Girard . Totuși, Descartes a construit și celălalt tratat al său, Dioptria, de parcă nimeni nu ar fi studiat optica matematică înaintea lui [11] [12] .

O influență fără îndoială asupra lui Descartes a fost François Viète , fondatorul algebrei simbolice. După cum am menționat mai sus, Descartes a început să dezvolte ideile principale ale reformei sale încă din 1619, astfel încât în ​​punctele cheie ale programului său să fie complet independent. Acest lucru este confirmat și de corespondența sa extinsă. Girard înainte de Descartes a formulat teorema fundamentală a algebrei (1629), iar Harriot a fost primul care a investigat descompunerea unui polinom în factori liniari (1631). Descartes nu a folosit simbolismul matematic al lui Girard și Herriot și s-a familiarizat cu cartea lui Harriot după publicarea Geometry. Descartes a corespondat activ cu Pierre Fermat , care poate pretinde și onoarea de a descoperi geometria analitică, dar influența lui Fermat nu se resimte în scrierile lui Descartes. Niciunul dintre predecesori nu a propus o reformă atât de radicală a matematicii precum Descartes [13] [14] .

Trăsături ideologice ale abordării lui Descartes

Metodă universală de rezolvare a problemelor

În ciuda importanței creării geometriei analitice, Descartes și-a dorit să atingă un obiectiv mult mai mare odată cu publicarea Geometriei - să ofere cea mai generală metodă de rezolvare a problemelor matematice. Această metodă generală (cum credea el) Descartes prezintă după cum urmează. Cele mai multe dintre problemele matematice pot fi reduse în cele din urmă la ecuații algebrice sau un sistem de astfel de ecuații. Prin urmare, soluția problemei este pur și simplu calculul rădăcinilor acestor ecuații . Dacă, atunci când rezolvăm o problemă, nu apar ecuații algebrice, ci alte ( transcendentale ), atunci pentru ele, credea Descartes, nu există o metodă generală de rezolvare. Pentru calculul propriu-zis al rădăcinilor, Descartes folosește o metodă grafică - rădăcinile sunt obținute ca puncte de intersecție a dreptelor, cercurilor și altor curbe algebrice [15] . Descartes știa că construcția de curbe de două grade vă permite să rezolvați o ecuație de grade [16] .

De exemplu, pentru a rezolva ecuația:

Descartes l-a reprezentat ca un sistem:

Prima ecuație dă o parabolă în planul (x, z) , a doua dă un cerc și rămâne de găsit punctele de intersecție a acestora. Descartes a arătat că este posibil să se rezolve ecuații de ordinul al cincilea și al șaselea prin metode analoge, pentru care nu există formule algebrice similare cu formula Cardano [17] .

Toate expresiile incluse în ecuație, Descartes transferate în partea stângă, astfel încât partea dreaptă este întotdeauna egală cu zero; această tehnică a redus studiul la găsirea rădăcinilor polinomului din partea stângă și studierea conexiunii acestor rădăcini cu coeficienții ecuației [16] .

Generalizarea conceptului de număr

După cum se arată mai sus, Descartes, spre deosebire de autorii antici, a combinat numere și cantități geometrice. În același timp, a distins trei tipuri de numere: întreg , fracțional și irațional ( latină  surdus , literal: „surd”); Descartes nu a făcut diferențe semnificative între ele, deoarece studiul curbelor continue și al imaginilor lor algebrice este incompatibil cu restricția pitagoreică la numerele raționale [18] . Descartes a făcut, de asemenea, un pas spre legalizarea numerelor negative, descriindu-le ca segmente opuse celor pozitive. Deși, conform tradiției, Descartes numea încă „false” rădăcinile negative, el le-a combinat deja cu „adevărate”, adică pozitive, în categoria generală a „rădăcinilor reale” – punându-le în contrast cu rădăcinile imaginare ( complexe ) [19] .

Reforma lui Descartes a însemnat „egalizarea drepturilor” numerelor întregi, fracționale și iraționale. Acest proces pe termen lung a fost finalizat de Newton , care în „ Universal Arithmetic ” (1707) a dat definiția clasică a unui număr real ca raport dintre rezultatul măsurării și un standard de unitate [19] [20] :

Prin număr înțelegem nu atât un set de unități, cât o relație abstractă a unei cantități cu o altă cantitate de același fel, luată ca unitate.

Textul original  (lat.)[ arataascunde] Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur ratioem intelligimus.

Geometrie analitică

Istoricii au descoperit începuturile metodei coordonatelor în „Secțiunile conice” ale lui Apollonius din Perga ( secolul al III-lea î.Hr. ). Descartes a dezvoltat ideile de bază ale geometriei analitice cel târziu în 1632. Principiul formulării proprietăților geometrice în limbaj algebric a fost dezvoltat simultan cu Descartes de un alt matematician francez remarcabil, Pierre Fermat , dar opera sa nu a fost publicată în timpul vieții autorului. Abordarea lui Fermat a fost similară cu cea carteziană, deși inferioară acestuia din urmă ca claritate și profunzime de prezentare [21] .

Sistemul de coordonate al lui Descartes era oarecum diferit de cel modern. Descartes fixează originea coordonatelor și axa coordonatelor pozitive pe plan (a luat în considerare numai coordonate pozitive, iar axa lui ordonate este orizontală), apoi proiectează pe această axă, perpendicular sau la un unghi fix diferit , punctele curbei studiate. , obținând de fapt a doua coordonată ( abscisă ) ca lungime a segmentului proiectat. În plus, Descartes pentru această curbă derivă o relație care leagă abscisele și ordonatele ( ecuația curbei ). După aceea, orice afirmație geometrică despre o curbă dată poate fi derivată pur algebric din ecuația curbei, fără a recurge la desene. Cu toate acestea, omagiind tradiția antică, Descartes oferă de obicei o interpretare geometrică a ecuațiilor sale. Rețineți că termenii abscisă, ordonată, coordonată în sensul modern au apărut mult mai târziu cu Leibniz, iar a doua axă de coordonate a fost introdusă pentru prima dată de comentatorul lui Descartes Claude Rabuel ( Claude Rabuel , 1669-1728) într-un supliment la Geometrie publicat postum ( 1730) [22] [23] [24] [25] .

Descartes a împărțit toate curbele continue în geometrice și mecanice ; primele diferă prin faptul că pot fi descrise printr-o ecuație algebrică . Curbele mecanice precum spiralele sau cvadricele au fost scoase din sfera studiului lui Descartes. El a efectuat prima clasificare a curbelor algebrice plane de diferite grade, corectată și completată ulterior de Newton [21] . Descartes era clar conștient de faptul că algebrizarea sa era plină de un pericol ascuns - la tragerea concluziilor din formula pentru coordonate, este necesar, în principiu, să se verifice de fiecare dată că aceste concluzii nu depind de alegerea sistemului de coordonate și nu sunt o consecință accidentală a unei trăsături a sistemului de coordonate actual . Raționamentul lui Descartes pe această temă a pus bazele teoriei invarianților [9] .

Notația lui Descartes

Cu Descartes, simbolismul algebric a primit un aspect aproape modern; „Geometria” este prima carte din istorie, formulele în care cititorul modern le va percepe fără dificultate. Descartes a sugerat folosirea literelor inițiale ale alfabetului pentru parametri cunoscuți : iar pentru parametrii necunoscuți , ultimele litere: Descartes a folosit același triplu ca simboluri de coordonate atunci când a trasat grafice ; Descartes însuși s-a limitat însă la curbe plate, utilizarea activă a coordonatelor spațiale a început mai târziu decât Clairaut [26] [7] .

Descartes a format notația modernă a exponentiației , de exemplu: cu exponentul în dreapta și deasupra simbolului variabil . Spre sfârșitul secolului, Newton a extins această notație la exponenții fracționali și negativi. F. Cajori caracterizează notația carteziană a gradelor ca fiind cea mai reușită și flexibilă simbolism din toată algebra - este simplă, compactă și clară, facilitează transformările și, care s-a dovedit a fi deosebit de importantă pentru cele ce urmează, a stimulat extinderea conceptul de exponențiere la exponenți negativi, fracționari și chiar complecși , precum și apariția în matematică a unei puteri și funcție exponențială ; toate aceste realizări ar fi fost greu de realizat folosind denumirile secolului al XVI-lea [27] .

Simbolismul algebric al lui Descartes a fost adoptat aproape complet de generațiile ulterioare de oameni de știință, doar semnul egal cartezian neobișnuit a fost înlocuit cu un simbol mai de succes al lui Robert Record . În plus, au fost eliminate restricțiile privind coeficienții, pe care Descartes i-a considerat întotdeauna nenegativi, iar excepțiile de la această regulă erau reflectate de un semn special [28] . Matematicianul olandez Johann Hudde deja în 1657 a permis variabilelor literale să ia valori de orice semn [29] . Monografia lui Newton „ Aritmetica universală ” (1707) folosește notația lui Descartes și semnul egal al lui Record. Unificarea notației algebrice a fost practic finalizată până la sfârșitul secolului al XVII-lea [28] .

Cuprins

„Geometria” este împărțită în trei părți (cărți). Afirmațiile autorului, de regulă, nu sunt însoțite de dovezi riguroase, ci sunt ilustrate de un număr mare de exemple [16] .

Cartea unu: „Despre probleme care pot fi construite folosind doar cercuri și linii drepte” . Deja în primul capitol, autorul declară: „Toate problemele de geometrie pot fi reduse cu uşurinţă la astfel de termeni încât pentru construirea lor să fie apoi necesară cunoaşterea doar a lungimii unor drepte”. Descartes descrie corespondența dintre operațiile aritmetice și construcțiile geometrice echivalente cu acestea, introduce cititorul în sistemul său de notație. Mai departe, el oferă o metodă de construire a ecuațiilor pentru problema rezolvată - trebuie doar să notați datele în condiția problemei relației cu formule și apoi să căutați o soluție la ecuațiile obținute [30] .

Ca exemplu al eficacității metodei sale, Descartes a luat în considerare și a rezolvat problema clasică a lui Pappus (din tratatul Pappus „Colecția matematică”, cartea VII): pentru linii într-un plan, se cere găsirea locului unor astfel de puncte pt. care produsul lungimilor segmentelor trasate din aceste puncte la aceste drepte aflate în aceleași unghiuri, are un raport dat la un produs similar al lungimilor segmentelor desenate la liniile drepte rămase. Papp a determinat că locul dorit este o secțiune conică , dar nu a dat o dovadă completă; Descartes a luat în considerare nu numai cazul general, ci și situațiile speciale (o parte a studiului este plasată de el în a doua carte) [22] [23] [31] .

Cartea a doua: „Despre natura liniilor strâmbe” . Această carte este dedicată aplicațiilor algebrei la geometrie. Aici Descartes a indicat o metodă generală de trasare a normalelor și tangentelor la curbele algebrice, pe care apoi a aplicat-o la anumite probleme din optică . Calculul diferențial nu a fost încă creat, iar Descartes folosește metoda coeficienților nedeterminați , care este ilustrată de exemplul elipsei , cisoidului Diocle și ovalului [32] . Când Pierre Fermat l-a informat pe Descartes despre metoda sa diferențială de a trasa tangente, mai simplă și mai practic modernă, el a respins-o ca depășind limitele algebrei, deși în studiul cicloidei și al spiralei logaritmice , el însuși a folosit metode care nu se potriveau. în ideologia carteziană (de exemplu, metoda indivizibililor ) [ 33] [34] .

Descartes și-a exprimat pesimismul în acest capitol cu ​​privire la posibilitatea de a calcula lungimea unui arc de curbă arbitrară („ îndreptarea unei curbe ”, așa cum spuneau atunci): în opinia sa, „ relația dintre linii drepte și curbe este necunoscută și, eu gândește-te, nici măcar nu poate fi cunoscut de oameni ” [35 ] [36] La acel moment, într-adevăr, nicio curbă, cu excepția unui cerc , nu putea fi îndreptată. Pesimismul s-a dovedit a fi nejustificat - douăzeci de ani mai târziu (în 1657) William Neil a efectuat rectificarea parabolei lui Neil , iar un an mai târziu, Wren a găsit lungimea arcului unui cicloid non- algebric . Mai mult , analiza matematică a creat o teorie generală pentru găsirea lungimii unui arc, care a fost imediat utilizată pentru o mare varietate de curbe [37] .

La sfârșitul celei de-a doua părți, Descartes scrie: „Acum cred că nu mi-a scăpat nimic de la începuturi necesar cunoașterii liniilor curbe”. De fapt, posibilitățile nemărginite deschise de geometria analitică au fost doar începutul progresului impresionant al noii geometrii [23] .

Cartea a treia: „Despre construcția sarcinilor corporale sau transcendente ale corpului” . În cea de-a treia carte, Descartes a subliniat teoremele de bază ale algebrei acumulate în această perioadă și metodele de rezolvare a ecuațiilor, pe care le-a legat într-un singur sistem, cu simbolism și terminologie generală convenabilă. În special, el a formulat teorema fundamentală a algebrei : o ecuație poate avea atâtea rădăcini diferite cât gradul ei (Descartes a numit rădăcini complexe „imaginare” și le-a acordat puțină atenție) [38] .

Următoarele sunt date (fără dovezi) regula semnelor lui Descartes pentru determinarea numărului de rădăcini pozitive și negative din coeficienții unui polinom (strict dovedită abia în secolul al XVIII-lea de Lagrange ), precum și reguli pentru determinarea poziției realelor. rădăcinile pe axa reală . Cu un secol înaintea lui Etienne Bezout , Descartes a arătat că dacă este rădăcina unui polinom , atunci acest polinom are un factor , adică poate fi reprezentat ca . Descartes reduce problema trisecțiunii unghiulare la o ecuație cubică și o rezolvă cu metoda sa obișnuită, folosind secțiuni conice [38] .

Descartes și-a exprimat opinia că ecuațiile de gradul al treilea și de gradul superior nu pot fi rezolvate cu o busolă și o linie dreaptă , în general vorbind; cu alte cuvinte, ecuația generală cubică nu poate fi rezolvată folosind doar rădăcini pătrate (mai degrabă decât cubice ). Această afirmație s-a dovedit a fi adevărată, deși raționamentul autorului pe această temă este neconvingător și nu are forță probatorie. Dar Descartes a remarcat corect că soluția unei ecuații cubice cu coeficienți întregi și un coeficient de conducere de 1 printr-o busolă și drepte este posibilă dacă această ecuație are o rădăcină reală (care, evident, va fi un număr întreg ). Descartes a rezolvat, de asemenea, în mod exhaustiv o întrebare similară pentru o ecuație de gradul 4, construind soluția sa de ordinul 3 [39] [40] .

Influență istorică

Încheind „Geometria”, Descartes a remarcat în glumă [41] :

Și sper ca posteritatea noastră să-mi fie recunoscătoare, nu numai pentru ceea ce am explicat aici, ci și pentru ceea ce am omis de bunăvoie, pentru a le oferi plăcerea de a-l găsi singuri.

Într-adevăr, opera lui Descartes, mai ales după lansarea traducerii sale în latină (1649, Frans van Schoten ), a căpătat imediat numeroși susținători și a provocat numeroase publicații, autorii cărora au urmat calea indicată de Descartes și și-au dezvoltat activ ideile. „Geometria” a rezistat la patru retipăriri în Olanda și Germania în timpul secolului al XVII-lea. Cu fiecare nouă ediție, textul lui Descartes a fost copleșit de completări și clarificări ample ale locurilor dificile; deja a doua ediție ocupa două volume [1] . Însuși Descartes, după „Geometrie”, s-a îndepărtat într-o anumită măsură de matematică și a preferat dezvoltarea filozofiei sale metafizice naturale (deși în scrisori către prieteni a dat soluția multor probleme) [33] .

Printre primii adepți ideologici ai lui Descartes au fost van Schoten , Erasmus Bartholin , Johann Hudde , Florimond de Beaune . John Wallis (1655) a fost, fără îndoială, influențat de Descartes , care a publicat un tratat cu titlul semnificativ „Matematică generală sau un curs complet de aritmetică” ( Mathesis universalis sive arithmeticum opus integrum , 1657), revizuit ulterior într-un Tratat de algebră (1685) . Wallis a extins algebrizarea la metoda indivizibililor (anterior pur geometrică), apropiindu-se de a crea un calcul integral [42] .

Isaac Newton a citit în tinerețe „Geometria” lui Descartes și chiar a pus-o deasupra „ Începuturilor ” lui Euclid . În „ Aritmetica universală ” a lui Newton (1707), separarea algebrei de geometrie a avut loc definitiv [38] [43] [44] . După cum a remarcat istoricul Carl Boyer , în primele sale publicații despre analiză , Gottfried Leibniz a imitat, conștient sau nu, stilul geometriei carteziene [45] ; într-una dintre scrisorile sale, Leibniz îi numește profesori pe Galileo , Descartes și Huygens [46] .

Deși crearea analizei matematice la sfârșitul secolului al XVII-lea a devalorizat teza lui Descartes despre universalitatea abordării algebrice, extinderea acestei teze pe o bază nouă, analitică, a reținut tot ce a fost mai bun în opera de pionierat a lui Descartes și a făcut este posibilă aplicarea cu succes a noii matematici în multe științe ale naturii [47] .

Publicații

Primele ediții

Text online

Traducere rusă

Note

  1. ↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul II, 1970 , p. treizeci.
  2. ↑ Iuşkevici A.P. Descartes şi matematica, 1938 , p. 257.
  3. ↑ Matvievskaya G.P. Doctrina numărului în Orientul Apropiat și Mijlociu medieval. - Tașkent: FAN, 1967. - S. 28. - 344 p. În ciuda titlului, cartea urmărește istoria conceptului de număr încă din cele mai vechi timpuri.
  4. ↑ Kolmogorov A. N. Value // Mathematical Encyclopedia. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977. - T. 1.
  5. ↑ Istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri până la începutul New Age // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 78.
  6. ↑ Bashmakova I. G. Prelegeri despre istoria matematicii în Grecia antică // Cercetări istorice și matematice . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr. 11 . - S. 309-323 .
  7. ↑ 1 2 Iuşkevici A.P. Descartes şi matematica, 1938 , p. 279-282.
  8. ↑ Scott, JF Lucrarea științifică a lui René Descartes. - New York: Garland, 1987. - ISBN 0824046722 .
  9. ↑ 12 Mac Tutor .
  10. ↑ Din istoria algebrei secolelor XVI-XVII, 1979 , p. 147-148.
  11. ↑ Din istoria algebrei secolelor XVI-XVII, 1979 , p. 143-144.
  12. ↑ Stillwell D. Mathematics and its history. - Moscova-Ijevsk: Institutul de Cercetări Informatice, 2004. - P. 127. - 530 p.
  13. ↑ Iuşkevici A.P. Descartes şi matematica, 1938 , p. 205, 227, 290-292.
  14. ↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 211.
  15. ↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 33, 43.
  16. ↑ 1 2 3 Iuşkevici A.P. Descartes şi matematica, 1938 , p. 281-282.
  17. ↑ Vileitner G., 1960 , p. 58.
  18. ↑ Iuşkevici A.P. Descartes şi matematica, 1938 , p. 283.
  19. ↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul II, 1970 , p. 35-36.
  20. ↑ Iuşkevici A.P. Descartes şi matematica, 1938 , p. 293.
  21. ↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul II, 1970 , p. 103-104.
  22. ↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul II, 1970 , p. 106-109.
  23. ↑ 1 2 3 Iuşkevici A.P. Descartes şi matematica, 1938 , p. 287.
  24. ↑ Geometrie, 1938 , p. 215.
  25. ↑ Vileitner G., 1960 , p. 232, 247.
  26. ↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 113.
  27. ↑ Istoria notațiilor matematice, vol. 1, 2007 , §315.
  28. ↑ 1 2 Istoria matematicii, Volumul II, 1970 , p. 40-46.
  29. ↑ Istoria notațiilor matematice, vol. 2, 2007 , §392.
  30. ↑ Geometrie, 1938 , p. paisprezece.
  31. ↑ Vileitner G., 1960 , p. 216-218.
  32. ↑ Iuşkevici A.P. Descartes şi matematica, 1938 , p. 285.
  33. ↑ 1 2 Iuşkevici A.P. Descartes şi matematica, 1938 , p. 289.
  34. ↑ Vileitner G., 1960 , p. 218-221.
  35. ↑ Geometrie, 1938 , p. 49.
  36. ^ Citat original francez : "la proportion, qui est entre les droites & les courbes n'estant pas connuë, & mesme ie croy ne le pouuant estre par les hommes", vezi Descartes, René. Discurs de la metoda... . - 1637. - S. 340.
  37. ↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 191-192.
  38. ↑ 1 2 3 Istoria matematicii, Volumul II, 1970 , p. 42-45.
  39. ↑ Rybnikov K. A. Istoria matematicii în două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1960. - T. I. - S. 135.
  40. ↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 221-223.
  41. ↑ Geometrie, 1938 , p. 113.
  42. ↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 228-230.
  43. ↑ Vileitner G., 1960 , p. 222-238.
  44. ↑ Stillwell D. Mathematics and its history. - Moscova-Ijevsk: Institutul de Cercetări Informatice, 2004. - P. 166. - 530 p.
  45. ↑ Boyer C. B. Istoria calculului și dezvoltarea sa conceptuală. - Dover Publications, inc, 1949. - P. 207-208. — 346 p.
  46. ↑ Filippov M. M. Leibniz: Viața și opera sa: activitate socială, științifică și filozofică. Capitolul III. - Sankt Petersburg.  : Ed. F. Pavlenkova. — 96 p. - ( ZhZL ; Numărul 129).
  47. ↑ Iuşkevici A.P. Descartes şi matematica, 1938 , p. 292-293.

Literatură

Link -uri