Principiul Harnack

Principiul lui Harnack ( a doua teoremă a lui Harnack ) este o teoremă privind proprietățile unei secvențe monotone de funcții care sunt armonice într-un domeniu mărginit, extinzând convergența la un anumit punct până la convergența în întregul domeniu. Înființată de matematicianul german Axel Harnack în 1886 .

În mod formal, să fie funcții armonice pozitive într-un anumit domeniu; dacă rând: $v_{n}(z)$ $D$

\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}(z)

converge cel puțin într-un punct al domeniului , apoi converge uniform în interior . $D$ $D$

Dovada

Fie un cerc cu centrul la și raza , situat în . Înmulțind inegalitatea , unde , cu , și integrând peste în intervalul de la până la , obținem , de unde rezultă că dacă seria converge într-un punct, atunci converge în fiecare punct din interiorul . Fie un lanț de cercuri care se află în și astfel încât punctul de convergență să fie centrul cercului , centrul fiecăruia se află în interior , se află în interior , unde este un punct ales în mod arbitrar în . La un punct , în virtutea celor de mai sus, seria se dovedește a fi convergentă, dar - orice punct din , prin urmare, seria converge în regiune . Fie un cerc arbitrar cu centru și rază , situat în , fie un cerc concentric de rază mai mare , de asemenea situat în . Înmulțind inegalitatea , unde , cu , și integrând peste în limitele de la la , ajungem la , prin urmare, seria este majorată pe cerc printr-o serie convergentă numerică și, prin urmare, converge uniform pe , dar - orice cerc în , prin urmare , seria converge uniform în interiorul . $K$ $z_{0}$ $R$ $D$ ${\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+r }{Rr}}$ $0\leq r<R$ ${\frac {1}{2\pi }}v_{{n}}(z_{{0}}+Re^{{i\alpha }})$ $\alfa$ $-\pi$ $\pi$ $v_{{n}}(z_{{0}}+Re^{{i\alpha }})\leq {\frac {R+r}{Rr}}v_{{n}}(z_{{0} })$ $z_{0}$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $K$ $K_{{1}},K_{{2}},...,K_{{m}}$ $D$ $z_{0}$ $K_{1}$ $K_{{j}}(1<j\leq m)$ $K_{{j-1}}$ $Z$ $K_{m}$ $Z$ $D$ $Z$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}$ $Z$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}$ $D$ $K$ $z_{1}$ $\rho$ $D$ $\overline {K}$ $R$ $D$ ${\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+\rho {R-\rho }}$ $0\leq r<\rho$ ${\frac {1}{2\pi }}v_{{n}}(z_{{1}}+Re^{{i\alpha }})$ $\alfa$ $-\pi$ $\pi$ $v_{{n}}(z_{{1}}+Re^{{i\alpha }})\leq {\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{{n}}(z_{ {unu}})$ $0\leq r<\rho$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $K$ $\sum _{{1}}^{\infty }{\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{{n}}(z_{{1}})$ $K$ $K$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $D$

Consecință

Dacă o secvență crescătoare sau descrescătoare de funcții armonice dintr-un anumit domeniu converge cel puțin într-un punct din acel domeniu, atunci converge uniform în interiorul . $D$ $D$

Literatură

Romanovsky P. I. seria Fourier. Teoria câmpului. Funcții analitice și speciale. Transformarea Laplace. M., Nauka, 1980, 336 p., galerie de tir. 28000 de exemplare