Principiul Maupertuis

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 noiembrie 2020; verificările necesită 4 modificări .

Principiul Maupertuis este principiul conform căruia un sistem holonomic conservator din mecanica clasică își schimbă starea astfel încât integrala rădăcinii pătrate a energiei sale cinetice să fie minimă pe traiectorie [1] . Numit după autor - Pierre Maupertuis .

Formulare

Luați în considerare un sistem holonomic conservator cu energie și energie potențială . Atunci schimbarea stării sale are loc în aşa fel încât . $E$ $U$ $\int {\sqrt {EU}}ds=min$

Dovada

Să luăm în considerare o variație . Să folosim egalitățile și . Primim . Integrând primul termen pe părți, obținem: . Primul termen dispare din cauza variațiilor la sfârșitul intervalului de integrare. Ca urmare, obținem o expresie pentru variația acțiunii Integrandul trebuie să fie egal cu zero din cauza arbitrarului variației. Primim . Ținând cont de egalități , obținem ecuațiile corecte de mișcare . Aceasta dovedește validitatea principiului . [2] $\delta \int {\sqrt {EU}}ds=\int \left\{{\sqrt {EU}}\delta ds-{\frac {\delta U}{2{\sqrt {EU}} }}ds\right\}=0$ $\delta ds={\frac {dx}{ds)}\delta dx$ $\delta U={\frac {\partial U}{\partial x}}\delta x$ $\int {\sqrt {EU}}{\frac {dx}{ds}}\delta dx-\int {\frac {\frac {\partial U}{\partial x}}{2{\sqrt {EU}}}}\delta xds=0$ $\int _{1}^{2}{\sqrt {EU}}{\frac {dx}{ds}}\delta dx={\Bigl .}{\sqrt {EU}}{\frac { dx}{ds}}\delta x{\Bigr |}_{1}^{2}-\int _{1}^{2}{\frac {d}{ds}}\left\{{\sqrt {EU}}{\frac {dx}{ds}}\right\}\delta xds$ $\delta x$ $\int \left\{{\frac {d}{ds}}\left[{\sqrt {EU}}{\frac {dx}{ds}}\right]+{\frac {1}{ 2{\sqrt {EU)))){\frac {\partial U}{\partial x))\right\}\delta xds=0$ ${\frac {d}{ds}}\left[{\sqrt {EU}}{\frac {dx}{ds}}\right]=-{\frac {1}{2{\sqrt { EU)))){\frac {\partial U}{\partial x))$ $V={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {EU}}$ $dt={\frac {ds}{V}}={\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {ds}{\sqrt {EU}}}$ $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {\partial U}{\partial x}}$ $\int {\sqrt {EU}}ds=min$

Note

↑ Yavorsky, 2007 , p. 114.
↑ Fermi, 1968 , p. cincisprezece.

Literatură

Fermi E. Mecanica cuantică. — M .: Mir, 1968. — 367 p.
Yavorsky B. M., Detlaf A. A., Lebedev A. K. Manual de fizică. - M . : Oniks, 2007. - 1056 p. - ISBN 978-5-488-01248-6 .