Principiul modulului maxim

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 12 martie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Formulare

Dacă este holomorfă într-un domeniu și există un punct astfel încât inegalitatea să fie valabilă în întregul domeniu , atunci . $f$ $G\subset {\mathbb C}^{n}$ $z_{0}\în G$ $G$ $|f(z_{0})|\geqslant |f(z)|$ $f(z)\equiv {\mathrm {const))$

Cu alte cuvinte, modulul unei funcții analitice, alta decât o constantă, nu poate avea maxime locale în interiorul regiunii . $G$

Consecințele

Principiul modulului minim. Dacă este analitică într-un anumit domeniu , nu dispare acolo și există un punct astfel încât inegalitatea să fie valabilă în întregul domeniu , atunci . (Adică, minimele locale ale modulului unei funcții analitice, alta decât o constantă, pot fi atinse numai în acele puncte în care dispare.) $f$ $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ $z_{0}\în G$ $G$ $|f(z_{0})|\leqslant |f(z)|$ $f(z)\equiv {\mathrm {const))$
Principiul maximului de părți reale și imaginare. Dacă pentru o funcție analitică într-un punct se atinge un maxim local (minim) la partea sa reală (sau imaginară), atunci funcția este o constantă. $f(z)$ $z_{0}\în G$ $f(z)$

(Aici folosim principiul obișnuit al modulului maxim pentru funcțiile și , precum și egalitatea .) $e^{{f(z)}}$ $e^{{dacă(z)}}$ $\left|e^{{f(z)}}\right|=e^{({\mathrm {Re}}\,f(z)}}$

Fie o submulțime compactă a . Pentru orice funcție continuă și analitică în interiorul , egalitatea este valabilă: $K\subset {\mathbb C}^{n}$ $f$ $K$ $K$

\|f\|_{K}=\|f\|_{{\partial K}}.

Dacă o succesiune de astfel de funcții converge uniform pe granița compactului , atunci ea converge uniform asupra întregului . $K$ $K$