Problema jacobiană

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 5 februarie 2020; verificările necesită 4 modificări .

Problema jacobiană este o problemă despre proprietățile polinoamelor în mai multe variabile.

Condiții

Se consideră un set de polinoame cu coeficienți complexi în variabile : ${\overline {X}}=X_{1},X_{2},...,X_{N}$

f_{1},f_{2},...,f_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]\qquad (unu)

Să presupunem că pentru orice mulțime sistemul de ecuații $(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N)$

f_{1}=b_{1},f_{2}=b_{2},...,f_{N}=b_{N}

are o soluție unică și există astfel de polinoame $(a_{1},a_{2},...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N)$

g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N }]

că fiecare . Se presupune că polinoamele sunt independente de setul de termeni liberi . Acest lucru este echivalent cu faptul că fiecare polinom din este reprezentat în mod unic ca un polinom din (și din ). Sistemul (1) definește o mapare polinomială , sub care $a_{i}=g_{i}(b_{1},b_{2},...,b_{N})$ $g_{1},g_{2},...,g_{N)$ $(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N)$ $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ $f_{1},f_{2},...f_{N)$ $g_{1},g_{2},...g_{N)$ $f:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow \mathbb {C} ^{N}$

f(a_{1},...,a_{N})=(f_{1}(a_{1},...,a_{N}),f_{2}(a_{1} ,...,a_{N}),...,f_{N}(a_{1},...,a_{N}))=(b_{1},b_{2},... ,b_{N})\în \mathbb {C} ^{N}\qquad (2)

Maparea este unu-la-unu. În plus, maparea inversă , care se traduce în $f$ $f^{-1}$ $(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N)$

f^{-1}(b_{1},...,b_{N})=(g_{1}(b_{1},...,b_{N}),g_{2} (b_{1},...,b_{N}),...,g_{N}(b_{1},...,b_{N}))=(a_{1},a_{2 },...,a_{N})\în \mathbb {C} ^{N}

este de asemenea polinom.

Asociați o mapare polinomială arbitrară de forma (2) cu o matrice pătrată (iacobiană a mapării ) de dimensiunea , în care derivata parțială stă în loc . Definim o altă mapare polinomială și luăm în considerare compoziția lor , a cărei matrice Jacobi este egală cu $f$ $J(f)({\overline {X}))$ $N$ $(i, j)$ $\partial f_{i}/\partial X_{J}$ $h:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow C^{N}$ $fh$

J(fh)({\overline {X)))=J(f)(h({\overline {X))))J(h)({\overline {X)))}

Calculând determinanții, obținem asta

\det(J(fh))({\overline {X)))=\det(J(f))(h({\overline {X))))\det(J(h))( {\overline {X)))

În special, dacă mapările polinomiale și sunt date , atunci compoziția lor este maparea identității. Prin urmare, matricea identității , atunci când se trece la determinant, unitatea este egală cu produsul polinoamelor, prin urmare, aceste polinoame sunt egale cu constantele, în special, $f$ $f^{{-1}}$ $E=J(f^{-1}f)({\overline {X)))=J(f^{-1})(f({\overline {X))))J(f) ({\overline {X)))$

\det(J(f))({\overline {X}))

este o constantă diferită de zero.

Formulare

Problema jacobiană constă în rezolvarea problemei inverse. Să fie dată o mapare polinomială de forma (2) și să fie o constantă diferită de zero. Este adevărat că există o mapare polinomială inversă? Este posibil să se reprezinte fiecare polinom în ca un polinom în ? $f$ $\det(J(f))$ $C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ $f_{1},f_{2},...,f_{n}$

Rezultate

Până în 2022, problema a fost rezolvată pentru cazul în care și gradele nu sunt mai mari de 150 și, de asemenea, dacă există, dar gradele tuturor polinoamelor nu sunt mai mari de 2. [1] În plus, pentru a demonstra o afirmație generală, a fost suficient. pentru a o demonstra pentru cazul în care fiecare este un polinom de grad cel mult 3 [1] . $N=2$ $f_{1},f_{2}$ $N$ $f_{1},f_{2},...,f_{N}$ $f_{i}$

Note

↑ 1 2 Kostrikin, „Introduction to Algebra”, v.1, pp. 259-260

Literatură

V. A. Artamonov Despre probleme rezolvate și deschise în teoria polinoamelor // Soros Educational Journal , 2001, nr.3, p. 110-113;