Testarea ipotezelor statistice

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 2 mai 2021; verificările necesită 3 modificări .

Testarea ipotezelor statistice este conținutul uneia dintre vastele clase de probleme de statistică matematică [1] .

Ipoteza statistică - o ipoteză despre tipul de distribuție și proprietățile unei variabile aleatoare , care poate fi confirmată sau infirmată prin aplicarea metodelor statistice la datele eșantionului [1] .

Ipoteze statistice

Definiții

Să presupunem că într-un experiment (statistic) este disponibilă pentru observare o variabilă aleatoare , a cărei distribuție este complet sau parțial necunoscută. Atunci orice afirmație despre se numește ipoteză statistică . Ipotezele se disting prin tipul de ipoteze conținute în ele: $X$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$

O ipoteză statistică care determină în mod unic distribuția , adică unde este o lege specifică, se numește simplă . $\mathbb {P}$ $H:\;\{{\mathbb {P}}={\mathbb {P}}_{0}\}$ ${\mathbb {P}}_{0}$

O ipoteză statistică care afirmă că o distribuție aparține unei anumite familii de distribuții, adică de forma , unde este o familie de distribuții, se numește complexă . $\mathbb {P}$ $H:\;\{{\mathbb {P}}\în {\mathcal {P}}\}$ ${\mathcal {P}}$

În practică, de obicei este necesar să se testeze unele ipoteze specifice și, de regulă, simple . O astfel de ipoteză se numește ipoteză nulă . În același timp, se consideră în paralel o ipoteză care o contrazice , numită concurență sau alternativă . $H_{0}$ $H_1$

Trebuie verificată ipoteza propusă, care se realizează prin metode statistice, de aceea ipoteza se numește statistică. Pentru a testa o ipoteză, sunt utilizate criterii pentru a accepta sau a respinge ipoteza.

În cele mai multe cazuri, testele statistice se bazează pe un eșantion aleatoriu de o dimensiune fixă pentru distribuție . În analiza secvenţială , eşantionul este format în timpul experimentului în sine şi, prin urmare, mărimea sa este o variabilă aleatorie (vezi Testul statistic secvenţial ). $(X_{1},X_{2},\puncte,X_{n})$ $n\geq 1$ ${\mathbb P}$

Exemplu

Să fie dat un eșantion independent dintr-o distribuție normală , unde este un parametru necunoscut. Atunci , unde este o constantă fixă , este o ipoteză simplă, iar cea care concurează cu ea este una complexă. $(X_{1},\ldots,X_{n})\sim {\mathcal {N))(\mu ,1)$ $\mu$ $H_{0}:\;\{\mu =\mu _{0}\}$ $\mu_{0}$ $H_{1}:\;\{\mu >\mu _{0}\}$

Etapele testării ipotezelor statistice

Formularea ipotezei principale și a ipotezei concurente . $H_{0}$ $H_1$
Stabilirea nivelului de semnificație , la care în viitor se va face concluzia despre validitatea ipotezei. Este egală cu probabilitatea de a face o eroare de tip I. $\alfa$
Calculul criteriilor statistice este astfel încât: $\phi$
- valoarea sa depinde de proba initiala ; ${\mathbf {X}}=(X_{1},\ldots ,X_{n}):\;\phi =\phi (X_{1},\ldots ,X_{n})$
- prin valoarea sa, se pot trage concluzii despre adevărul ipotezei ; $H_{0}$
- statistica , în funcție de o variabilă aleatoare , este, de asemenea, o variabilă aleatoare și se supune unui fel de lege de distribuție . $\phi$ $\mathbf {X}$
Construirea regiunii critice. Din intervalul de valori , se distinge un subset de astfel de valori, care poate fi folosit pentru a aprecia discrepanțe semnificative cu ipoteza. Mărimea sa este aleasă în așa fel încât egalitatea să fie valabilă . Acest set se numește regiunea critică . $\phi$ ${\mathcal {C}}$ $P(\phi \in {\mathcal {C}})=\alpha$ ${\mathcal {C}}$
Concluzie despre adevărul ipotezei. Valorile observate ale eșantionului sunt substituite în statistici , iar prin lovirea (sau nelovirea) zonei critice se ia decizia de a respinge (sau accepta) ipoteza propusă . $\phi$ ${\mathcal {C}}$ $H_{0}$

Tipuri de regiuni critice

Există trei tipuri de zone critice:

Regiunea critică cu două fețe este definită de două intervale , unde se găsește din condiții . $(-\infty ,\;x_{{\alpha /2)))\cup (x_{{1-\alpha /2}}\;+\infty )$ $x_{{\alpha /2}},\;x_{{1-\alpha /2}}$ $P(\phi <x_{\alpha /2})={\frac {\alpha}}{2)),\quad P(\phi >x_{1-\alpha /2})=1-{ \frac {\alpha }{2}}$
Regiunea critică din stânga este determinată de intervalul , unde se găsește din condiția . $(-\infty ,\;x_{\alpha })$ $x_{\alpha }$ $P(\phi <x_{\alpha })=\alpha$
Regiunea critică din dreapta este determinată de intervalul , unde se găsește din condiția . $(x_{{1-\alpha }},\;+\infty )$ $x_{{1-\alpha}}$ $P(\phi <x_{{1-\alpha }})=1-\alpha$

Vezi și

Note

↑ 1 2 Ivanovsky R. Teoria probabilității și statistica matematică. Fundamente, aspecte aplicate cu exemple și sarcini în mediul Mathcad. — 528 p. - (Tutorial). - ISBN 978-5-9775-0199-6 .

Literatură

Ipoteza statistică // Marea enciclopedie rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	GND : 4077852-6 NKC : ph126614