Programul Hilbert

Programul de matematică al lui Hilbert a fost formulat de matematicianul german David Hilbert la începutul secolului al XX-lea. Hilbert a sugerat că consistența sistemelor mai complexe, cum ar fi teoria funcțiilor unei variabile reale , ar putea fi demonstrată în termeni de sisteme mai simple. În cele din urmă, conform sugestiei sale, consistența tuturor matematicii poate fi redusă la o simplă aritmetică .

Teorema de incompletitudine a lui Gödel a arătat că programul lui Hilbert nu se aplica la majoritatea domeniilor matematicii.

Declarațiile principale ale programului lui Hilbert

Scopul principal al programului lui Hilbert a fost de a oferi o bază solidă pentru întreaga matematică. În special, aceasta ar trebui să includă:

• Formularea tuturor matematicii ; cu alte cuvinte, toate enunțurile matematice trebuie scrise într-un limbaj formal precis și gestionate după reguli bine definite.
• Completitudine : O dovadă că toate afirmațiile matematice adevărate pot fi dovedite în mod formal.
• Consistență : O dovadă că nu se poate obține nicio contradicție în formalismul matematicii. Această demonstrație de consistență ar trebui să folosească de preferință doar raționamentul „finit” despre obiectele matematice finite.
• Conservare : demonstrarea faptului că orice rezultat despre „obiectele reale” obținut folosind raționamentul despre „obiectele ideale” (cum ar fi nenumărate mulțimi) poate fi dovedit fără a utiliza obiecte ideale.
• Decidabilitate algoritmică : Există un algoritm pentru determinarea adevărului sau falsității oricărei afirmații matematice.

Vezi și

• Teorema de incompletitudine a lui Godel
• Aritmetica Peano
• David Gilbert
• algoritmul lui Tarski

Literatură

• G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112:493-565. Tradus ca „Consecvența aritmeticii”, în The collected papers of Gerhard Gentzen , ME Szabo (ed.), 1969.
• D. Hilbert. „Die Grundlagen Der Elementaren Zahlentheorie”. Mathematische Annalen 104:485-94. Tradus de W. Ewald ca „The Grounding of Elementary Number Theory”, pp. 266-273 în Mancosu (ed., 1998) From Brouwer to Hilbert: The debate on the foundations of mathematics in the 1920s , Oxford University Press. New York.
• S.G. Simpson, 1988. Realizări parțiale ale programului lui Hilbert . Journal of Symbolic Logic 53:349-363.
• R. Zach , 2006. Programul lui Hilbert Then and Now. Philosophy of Logic 5:411-447, arXiv: math/0508572 [math.LO].