Aritmetic

Una dintre cele două operații inverse pentru ridicarea la o putere este extragerea rădăcinii sau găsirea unui număr care, atunci când este ridicat la puterea corespunzătoare, va da un rezultat cunoscut. Adică, vorbind algebric, aceasta este căutarea unei rădăcini pentru o ecuație de forma . A doua operație inversă este căutarea logaritmului (rădăcina unei ecuații de forma ). Aritmetica, de regulă, include doar calculul rădăcinii de gradul doi - rădăcina pătrată .

Operația de calcul a rădăcinii, dacă este efectuată nu numai pentru acele numere care pot fi obținute prin ridicarea numerelor naturale la o putere, precum și alte operații inverse, vă permite să treceți dincolo de mulțimea numerelor naturale. Numerele care rezultă din aceasta nu pot fi reprezentate adesea ca fracții raționale finite și, prin urmare, sunt numite iraționale. Mulțimea numerelor obținute prin adăugarea numerelor iraționale la numerele raționale a fost numită reală sau reală .

Chiar și în Grecia Antică, se știa despre existența segmentelor incomensurabile , cel puțin pe exemplul laturilor și diagonalei unui pătrat cu o latură luată ca unitate, și s-au încercat să se obțină valori numerice exacte pentru ele, care s-a reflectat în „ Principiile ” ale lui Euclid . Numerele reale au devenit obiect de cercetare abia în secolele XVII-XVIII. În a doua jumătate a secolului al XIX-lea , Dedekind , Cantor și Weierstrass și -au formulat propriile modalități constructive de definire a unui număr real [26] .

Pentru operația de extragere a rădăcinii se cunoaște următoarea regulă [4] :

Extinderea în continuare a setului de numere s-a datorat imposibilității extragerii rădăcinii pătrate a unui număr negativ. O problemă similară s-a confruntat în antichitate la rezolvarea ecuațiilor pătratice , iar astfel de ecuații erau considerate pur și simplu de nerezolvat. În prima jumătate a secolului al XVI-lea, au început să exprime soluțiile unor astfel de ecuații în termeni de rădăcini din numere negative și au numit astfel de rădăcini „imaginare”, „imposibile”, „imaginare” etc. [27]

Aritmetică practică

Latura practică a aritmeticii include metode, scheme și algoritmi pentru efectuarea unor operații aritmetice exacte, inclusiv utilizarea mașinilor de calcul și a altor dispozitive, precum și diverse metode de calcule aproximative care au apărut din cauza imposibilității obținerii unui rezultat precis cu unele măsurători. și vă permit să o determinați.ordine, adică primele cifre semnificative [28] .

• Cele mai simple dispozitive de numărare

• abac roman

• suanpan chinezesc

• Yupana a incașilor

• abac rusesc

Metode exacte

Încă din secolul al XV-lea au fost propuși diverși algoritmi pentru efectuarea de operații aritmetice pe numere cu mai multe valori, care diferă prin natura înregistrării calculelor intermediare [1] . Algoritmii aritmetici sunt construiți pe sistemul de numere pozițional curent , atunci când orice număr real pozitiv este reprezentabil în mod unic sub forma

Toate operațiile pe numere folosesc tabele de adunare și înmulțire până la zece și legi aritmetice de bază. Ca o ilustrare, faimosul popularizator al științei Klein oferă următorul exemplu:

care foloseşte legile distributive şi de combinare [29] .

Nevoia de calcule rapide și precise a dus la crearea celor mai simple dispozitive de numărare: abacus , suanpan , yupans sau account . Următorul pas a fost crearea de către Oughtred în 1622 a regulii de calcul , care permite înmulțirea și împărțirea [30] .

Aritmetica computerului

Knuth considera operațiile aritmetice ca fiind „mulțimea calculatoarelor ” [31] . Primele calculatoare , care au făcut posibilă mecanizarea a patru operații aritmetice, au fost construite în secolul al XVII-lea. Mașina de aritmetică a lui Shikkard , așa cum a numit-o el însuși, a fost construită în 1623. Operațiile de adunare și scădere se făceau prin cilindri rotativi, cilindri speciali erau și pentru înmulțire și împărțire. În plus, mașina ar putea transporta zeci. Mașina lui Pascal a fost dezvoltată de el în 1642 pentru a-și ajuta tatăl cu calcule financiare. Avea același principiu de funcționare ca și mașina Shikkard. Partea principală a mașinii era mecanismul de transfer al zecilor. În același timp, producția artizanală a unor astfel de mașini a rămas încă neprofitabilă [32] . Încercările de îmbunătățire a mașinii de adăugare au continuat pe tot parcursul secolului al XVIII-lea, dar abia în secolul al XIX-lea s-a răspândit pe scară largă utilizarea mașinilor de adaos [33] .

În secolul al XX-lea, mașinile de adăugare au fost înlocuite cu calculatoare electronice. Ele se bazează pe algoritmi care folosesc cel mai mic număr de operații elementare pentru a efectua operații aritmetice [1] . Aritmetica computerizată include algoritmi pentru efectuarea de operații pe numere în virgulă mobilă , fracții și numere foarte mari [31] .

Dimensiune

Pe lângă elementele care sunt supuse recalculării, există elemente care pot fi măsurate - în primul rând, acestea sunt lungimea și masa [34] .

Ca și în cazul numărării, primele măsuri de lungime la oameni au fost degetele. Apoi au început să măsoare distanța în pași, pași dubli, mile (o mie de pași dubli), etape . În plus, pentru măsurarea lungimii au fost folosiți coți, palme, brațe , centimetri . În diferite regiuni s-au stabilit propriile sisteme de măsuri, care rareori erau multiplu de zece [35] . Varietatea măsurilor, în special, a făcut posibilă renunțarea la utilizarea fracțiilor [36] [37] . Aritmetica comercială a inclus capacitatea de a opera cu valori (unități monetare, unități de măsură și greutăți) într-un sistem numeric non-zecimal [38] .

La sfârșitul secolului al XVIII-lea, guvernul revoluționar francez a adoptat sistemul metric de măsuri pe baza unui metru temporar și apoi de arhivă (prin legea din 10 decembrie 1799)  ( Franța a trecut în cele din urmă la acesta de la 1 ianuarie 1840). Împreună cu contorul a fost definit și kilogramul . Sistemul metric se bazează pe sistemul zecimal. Această împrejurare a permis să se răspândească în aproape întreaga lume (cu excepția Marii Britanii și a SUA ). Prin decretul unui Birou Internațional de Greutăți și Măsuri special , situat la Paris , în 1888, un metru internațional și un kilogram internațional au fost fabricate dintr-un aliaj de platină și iridiu - standarde de măsuri și greutăți. Pe lângă măsurile de timp și unghi, toate celelalte unități de măsură sunt asociate și cu sistemul zecimal [39] .

Metode aproximative

Din punct de vedere istoric, calculele aproximative au apărut la căutarea lungimii diagonalei unui pătrat unitar, dar s-au răspândit la trecerea la un sistem zecimal și folosind fracții zecimale finite în loc de numere iraționale și numere exprimate printr-o fracție periodică infinită [40] .

Pentru calculele de evaluare se folosesc in primul rand legile monotonitatii. De exemplu, pentru a determina ordinea produsului , puteți utiliza următoarea estimare: [29] .

Teoria numerelor

Teoria numerelor , sau aritmetica superioară, este știința numerelor întregi care au apărut din problemele aritmetice legate de divizibilitatea numerelor [41] . Teoria numerelor elementare se ocupă de probleme care sunt rezolvate prin metode elementare, de obicei fără utilizarea numerelor imaginare. Include teoria divizibilității, teoria comparațiilor, ecuațiile nedefinite , împărțirea în termeni , aproximările prin numere raționale, fracțiile continuate [42] . Teorema de bază a aritmeticii  - despre împărțirea unui număr în factori primi într-un mod unic - face parte și ea din teoria elementară a numerelor [43] .

Subclase separate de numere întregi, cum ar fi numere prime, compuse, pătrate , perfecte , au fost identificate de grecii antici . Ei au dedus formule pentru determinarea triplelor pitagoreene, cel mai mare divizor comun , au arătat infinitatea numărului de numere prime. Diophantus a efectuat o sistematizare a problemelor legate de numerele întregi. Lucrările lui Diophantus au fost continuate de Fermat în secolul al XVII-lea și de Euler în secolul al XVIII-lea. Fermat a fost angajat în rezolvarea ecuațiilor în numere întregi și a formulat fără dovezi teoremele mici și mari ale lui Fermat . Euler, continuând cercetările lui Fermat, a demonstrat o mică teoremă și un caz special al marii teoreme a lui Fermat. El a fost primul care a aplicat analiza matematică pentru a rezolva probleme din teoria numerelor și a creat teoria analitică a numerelor. Euler a definit funcțiile generatoare , pe baza cărora s-au construit metoda circulară și metoda sumelor trigonometrice [41] .

În prezent, pe lângă teoria elementară și analitică a numerelor, există secțiuni precum teoria aditivă , algebrică , probabilistică , teoria numerelor metrice [41] .

Aritmetică teoretică

În matematica modernă , construcția unei teorii este o alegere a proprietăților de bază, sau axiome , din care se cere să se derive toate prevederile teoriei, sau teoreme , folosind logica general acceptată [44] . Construcția teoretică a aritmeticii operează cu concepte algebrice. Complexitatea evidențierii definițiilor de bază ale aritmeticii este asociată cu simplitatea pozițiilor sale inițiale. Peano , temându-se de o serie asociativă falsă la folosirea cuvintelor, a efectuat dovezi exclusiv în limbajul simbolurilor, bazându-se doar pe prevederile preliminare adoptate de el. Cantor și Dedekind au legat numerele cu mulțimi și relații abstracte asupra lor [20] . Teoria mulțimilor consideră operațiile aritmetice ca relații speciale între triplete de elemente, în care un element este determinat în termenii altor două, sau operații algebrice [45] . Vorbind despre teoria mulțimilor, Klein a remarcat că prin această abordare, dezvoltarea teoriei devine „abstractă și greu accesibilă” [20] .

Numerele naturale

În 1810, matematicianul ceh Bolzano a definit operația de adunare a numerelor naturale. Independent de el, o definiție similară a fost dată de matematicienii germani Grassmann în 1861 și Hankel în 1869 [46] . Enciclopedia Matematicii Elementare oferă următoarea definiție a adunării numerelor naturale [47] :

Adunarea numerelor naturale este întotdeauna fezabilă și lipsită de ambiguitate [47] .

Înmulțirea, ca și adunarea, a fost determinată independent de Bolzano, Grassmann și Hankel [46] . „Enciclopedia Matematicii Elementare” oferă următoarea definiție a înmulțirii numerelor naturale [48] :

Înmulțirea numerelor naturale este întotdeauna fezabilă și unică [48] .

În 1891, Peano a introdus axiomele pentru numerele naturale (alte surse menționează și 1889) [11] [46] . De atunci, axiomele s-au schimbat foarte puțin.

Întregi

Enciclopedia Matematicii Elementare oferă următoarea definiție a scăderii numerelor naturale [50] :

Scăderea numerelor naturale este fezabilă numai atunci când , dacă diferența există, atunci este unică [50] . Extinderea numerelor naturale datorită proprietăților de adunare și scădere duce la conceptul de numere întregi [51] .

Inelul există și este unic până la izomorfism , iar fiecare dintre elementele sale este egal cu diferența numerelor naturale. La construirea unui inel, se folosește un set de perechi de numere naturale de forma . Pentru perechi, echivalența , adunarea și înmulțirea sunt definite după cum urmează [52] :

• este echivalent dacă și numai dacă
• 
• 

Numere raționale

„Enciclopedia Matematicii Elementare” oferă următoarea definiție a împărțirii numerelor naturale [50] :

Împărțirea numerelor naturale este fezabilă numai atunci când ( multiplu ), dacă coeficientul există, atunci este unic [50] . Extinderea numerelor întregi prin conceptele de înmulțire și împărțire duce la definirea numerelor raționale [51] . În 1710, Wolf a afirmat cerința ca legile deja cunoscute pentru efectuarea operațiilor aritmetice cu numere întregi nu pot fi aplicate direct fracțiilor și trebuie justificate. Justificarea în sine a fost dezvoltată abia în secolul al XIX-lea folosind principiul constanței legilor formale [53] .

Câmpul există și este unic până la izomorfism, iar fiecare dintre elementele sale este egal cu un coeficient de numere întregi. În ceea ce privește numerele întregi, la construirea câmpului numerelor raționale se folosește un set de perechi , dar acum deja numere întregi, în timp ce . Pentru perechi, echivalența, adunarea și înmulțirea sunt definite după cum urmează [25] :

• este echivalent dacă și numai dacă
• 
• 

Numerele reale

În a doua jumătate a secolului al XIX-lea, au fost introduse trei construcții teoretice diferite ale numerelor reale . Cea mai populară este construcția Dedekind . Kantor a folosit teoria limitelor în construcția sa [54] .

Câmpul există și este unic până la izomorfism , iar fiecare dintre elementele sale este egal cu limita șirului de numere raționale [55] .

Numere complexe

Câmpul este închis algebric . La construirea unui câmp de numere complexe, se folosește un set de perechi ordonate . Pentru perechi, echivalența, adunarea și înmulțirea sunt definite după cum urmează:

• este echivalent dacă și numai dacă și ,
• 
• 

Aritmetică formală

Construcția logico-matematică se numește aritmetică formală [57] . Trecerea la logică este asociată cu abordarea școlii Hilbert , care a considerat abstracții în loc de numere și a presupus că legile aritmetice de bază erau adevărate pentru ele [20] . Pentru a justifica aritmetica, au fost propuse mai multe variante de axiomatică. Pe lângă sistemul de axiome Peano, care definește atât adunarea, cât și înmulțirea, există sistemul de axiome Presburger , care definește numai axiomele, și axiomele care definesc adunarea, înmulțirea și exponentiația. Adesea toate proprietățile operațiilor sunt incluse ca axiome [58] [59] . Toate aceste teorii axiomatice se bazează pe mulțimea numerelor întregi și nu includ paradoxurile teoriei mulțimilor . Alte abordări de cercetare derivă aritmetica din axiomele teoriei mulțimilor sau logicii matematice [44] . Pentru comoditatea cercetării, axiomele sunt scrise într-un limbaj formal special al logicii matematice [57] . Conține , variabile numerice, simboluri ( ) și conjunctive logice ( ), postulate sunt postulate ale predicatelor de calcul [2] . Axioma de inducție este o mulțime infinită de axiome care nu poate fi înlocuită cu nicio mulțime finită [57] .

În mod ideal, setul de bază de axiome ar trebui să aibă trei calități [11] :

• consecvență  - axiomele nu trebuie să intre în conflict între ele;
• independența  - între axiome nu trebuie să fie de prisos, dedusă logic din alte axiome;
• completitudine  - setul de axiome trebuie să fie suficient pentru ca orice teoremă formulată corect să poată fi demonstrată sau infirmată.

Aritmetica numerelor naturale are o mare importanță pentru fundamentarea teoriilor matematice: din consistența ei rezultă consistența aritmeticii numerelor reale, care la rândul său permite, folosind metoda modelelor, să se arate consistența geometriei euclidiene și a lui Lobachevsky ' geometria s [11] [44] . Dovada consistenței aritmeticii în sistemul Peano și sistemele axiomatice aferente a fost urmărită fără succes de Hilbert la începutul secolului al XX-lea. După descoperirea teoremei de incompletitudine a lui Gödel în 1930, a devenit clar că acest lucru nu era posibil în sisteme atât de simple. O dovadă de consistență a fost efectuată în 1936 de către Gentzen folosind o variație a inducției transfinite [57] .

Pentru a studia independența, fiecare axiomă este înlocuită la rândul său cu opusul său, apoi se construiește un model în care setul de axiome rezultat este satisfăcut. Dacă axioma înlocuită este dependentă, adică decurge logic din alte axiome, atunci înlocuirea ei cu una opusă duce în mod evident la un sistem inconsecvent de axiome, iar construirea unui model este imposibilă. Astfel, dacă modelul poate fi construit, atunci axioma corespunzătoare este independentă [60] . În acest fel, s-a dovedit că toate axiomele lui Peano sunt independente unele de altele [61] .

Prin intermediul aritmeticii formale, care se bazează pe axiomele lui Peano, se pot scrie teoreme de teorie a numerelor care sunt dovedite fără a folosi instrumente de analiză matematică, precum și funcții recursive și proprietățile lor [2] . Este echivalentă cu teoria axiomatică a mulțimilor Zermelo-Fraenkel fără axioma infinitului . În același timp, teorema de completitudine a lui Godel , dovedită în 1929, a arătat că axiomatica lui Peano este incompletă, adică există teoreme aritmetice care nu pot fi nici dovedite, nici infirmate. În timp ce aritmetica este completă în raport cu formulele formei , există teoreme ale formei , care exprimă o propoziție adevărată, dar nu pot fi deduse [57] . De asemenea, a fost posibil să găsim exemple specifice de teoreme: teorema Goodstein , teorema Paris-Harrington și altele.

Contur istoric

Texte matematice antice și sisteme numerice

Textele de matematică egiptene au acordat o atenție deosebită calculelor și dificultăților care decurg din acestea, de care depindeau în mare măsură metodele de rezolvare a problemelor. Papirusurile matematice ale Egiptului antic au fost întocmite în scop educațional [62] , acestea conțineau probleme cu soluții, tabele auxiliare și reguli pentru operații pe numere întregi și fracții , există progresii aritmetice și geometrice , precum și ecuații [11] . Egiptenii foloseau sistemul numeric zecimal [63] . Egiptenii cunoșteau operații aritmetice precum adunarea, dublarea și adăugarea de fracții la una. Orice înmulțire cu un întreg și împărțire fără rest au fost efectuate folosind multiple repetări ale operației de dublare, ceea ce a condus la calcule greoaie care implică anumiți membri ai șirului [15] . În Egipt, s-au folosit numai fracții alicote sau fracții dintr-o unitate ( ), iar toate celelalte fracții au fost descompuse în suma alicote [64] . Atunci când determinau aria unui pătrat , volumul unui cub sau aflau latura unui pătrat după aria sa, egiptenii s-au confruntat cu ridicarea la putere și extragerea unei rădăcini, deși nu existau încă nume pentru aceste operații. [15] .

Textele matematice cuneiforme babiloniene foloseau sistemul de numere sexagesimal , caracteristic sumerienilor [65] , și erau instrumente didactice care includ tabele de înmulțire pentru numere de la până la , precum și tabele de reciproce , tabele de pătrate și cuburi de numere naturale, tabele de calcul. procente , fracții cu bază [11] [63] . Când rezolvau probleme de aritmetică, babilonienii se bazau pe proporții și progresii. Ei cunoșteau formula pentru suma membrilor unei progresii aritmetice, regulile de însumare a unei progresii geometrice și rezolvau probleme pentru procente [66] . În Babilon, ei cunoșteau o mulțime de triple pitagoreice , pentru căutări pentru care probabil au folosit o tehnică generală necunoscută. În general, problema găsirii unor soluții întregi și raționale la o ecuație aparține teoriei numerelor [67] . Problemele geometrice au condus la necesitatea extragerii aproximative a rădăcinilor pătrate , pe care le-au efectuat folosind regula și metodele iterative pentru a aproxima în continuare rezultatul [com. 1] .

Cele mai vechi texte matematice grecești datează din secolele XIV-VII î.Hr. e. [69] Inițial, grecii au folosit numerotarea atică , care în cele din urmă a fost înlocuită cu o literă compactă, sau ionică [70] . Dezvoltarea aritmeticii grecești antice aparține școlii pitagoreice . Pitagorei credeau la început că raportul dintre oricare două segmente poate fi exprimat prin raportul numerelor întregi, adică geometria era aritmetica numerelor raționale. Ei au considerat doar numere întregi pozitive și au definit un număr ca o colecție de unități. Studiind proprietățile numerelor, le-au împărțit în pare și impare (ca semn de divizibilitate cu doi), prime și compuse , au găsit o mulțime infinită de triple pitagorice [71] . În 399 î.Hr. e. a apărut o teorie generală a divizibilității, care, se pare, aparține lui Theaetetus , un student al lui Socrate . Euclid i-a dedicat cartea VII și o parte a cărții a IX-a „ Începuturi ”. Teoria se bazează pe algoritmul lui Euclid pentru găsirea celui mai mare divizor comun a două numere. Consecința algoritmului este posibilitatea descompunerii oricărui număr în factori primi, precum și unicitatea unei astfel de descompunere [72] .

În același timp, pitagoreicii dețin dovada incomensurabilității diagonalei și a laturii pătratului unității. Această descoperire a însemnat că rapoartele numerelor întregi nu sunt suficiente pentru a exprima rapoartele oricăror segmente și pe această bază este imposibil să se construiască o geometrie metrică [73] . Prima doctrină a iraționalității îi aparține lui Theaetetus. Algoritmul lui Euclid permite determinarea expansiunilor parțiale incomplete ale unui număr rațional într-o fracție continuă. În același timp, conceptul de fracție continuă nu a apărut în Grecia Antică [72] . În secolul al III-lea, Diophantus a început construcția algebrei bazată nu pe geometrie, ci pe aritmetică. Diophantus a extins, de asemenea, domeniul numeric la numere negative [74] .

Sistemul de numerotare romană nu era bine adaptat pentru calcule. Cifrele romane au precedat apariția alfabetului și nu sunt derivate din literele acestuia. Se crede că inițial numerele de la până au fost indicate prin numărul corespunzător de linii verticale, iar bararea lor însemna numărul de zece ori (de unde și numărul ). În consecință, pentru a obține numărul , bastonul a fost tăiat de două ori. Ulterior, sistemul a fost simplificat [75] . În prezent, este folosit în principal pentru a desemna numerele ordinale.

Până în secolul al XIV-lea, matematica chineză a fost un set de algoritmi de calcul pentru rezolvarea pe o tablă de numărare [76] . Operațiile aritmetice de adunare și scădere efectuate pe tabla de numărare nu necesitau tabele suplimentare, dar pentru înmulțire exista un tabel de la la . Operațiile de înmulțire și împărțire au fost efectuate începând de la cifrele cele mai mari, în timp ce rezultate intermediare au fost scoase de pe tablă, ceea ce a făcut imposibilă verificarea. La început, înmulțirea și împărțirea erau operații independente, dar apoi Sun Tzu a notat inversul lor reciproc [77] . În China, au știut să rezolve probleme folosind regula a două poziții false [78] , iar numerele negative au fost introduse pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare . La început, au fost folosite doar în procesul de numărare și au fost scoase de pe tablă până la sfârșitul calculelor, apoi oamenii de știință chinezi au început să le interpreteze ca o datorie sau lipsă [79] .

Aritmetica în Evul Mediu

Sistemul de numere poziționale (zece cifre inclusiv zero ) a fost introdus în India . A făcut posibilă dezvoltarea unor reguli relativ simple pentru efectuarea operațiilor aritmetice [11] . Principalele operații aritmetice din India au fost considerate adunare, scădere, înmulțire, împărțire, pătrat și cub, extragerea rădăcinilor pătrate și cubice, pentru care s-au dezvoltat reguli. Calculele se făceau pe o tablă de numărare cu nisip sau praf, sau pur și simplu pe sol și se înregistrau cu un baston [80] . Indienii cunoșteau fracții și știau să facă operații asupra lor, proporții, progresii [81] . Deja din secolul al VII-lea d.Hr. e. au folosit numere negative, interpretându-le ca datorie, precum și numere iraționale [82] .

La începutul secolului al IX-lea, Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi a scris cartea „Despre contul indian”. Manualul conținea soluții la probleme practice „de diferite feluri și feluri” și a fost prima carte scrisă folosind un sistem de numere poziționale, înainte ca numerele erau folosite doar pentru calcule pe tabla de numărare [83] [84] . În secolul al XII-lea , două traduceri ale cărții în latină au fost făcute de Adelard și Ioan din Sewel [85] . Originalul său nu a fost păstrat, dar în 1857 a fost publicată o traducere latină găsită sub titlul „Alkhoresmi on the Indian Number” [83] . Tratatul descrie efectuarea operațiilor aritmetice precum adunarea, scăderea, dublarea, înmulțirea, bifurcarea, împărțirea și luarea rădăcinii pătrate cu ajutorul numerelor indiene pe tabla de numărare [86] . Înmulțirea fracțiilor, ca și diviziunea, a fost considerată folosind proporții: înmulțirea cu echivala cu găsirea astfel încât . Această teorie a stat la baza aritmeticii arabe. Totuși, a existat și un alt calcul al fracțiilor, reprezentând orice fracție ca sumă de fracții alicote [87] . Pentru a rezolva probleme, arabii au folosit regulă triplă , care a venit din India și a fost descrisă împreună cu o serie de alte tehnici în „Cartea indienilor Rashiks” a lui Al-Biruni, regula a două poziții false, care provenea din China și a primit teorii teoretice. justificare în „Cartea despre regula dublei poziții false” Bush ibn Lukka [88] .

Prin Spania și Sicilia în secolul al X-lea, au început să se stabilească legături științifice între Europa și lumea arabă. În acest moment , învațatul călugăr Herbert, care mai târziu a devenit papa Silvestru al II-lea , a vizitat Catalonia . El este creditat cu scrieri precum Cartea împărțirii numerelor și Regulile pentru a număra pe abac. În ambele cărți, numerele sunt scrise cu cuvinte sau cifre romane [89] . Herbert a numit calculatoarele de abac „abaciști”. În secolele XII-XIII, în Europa au apărut traduceri latine ale cărților arabe de aritmetică. Adepții numerotării poziționale zecimale prezentate în cărți au început să fie numiți „algorişti” după numele matematicianului arab al-Khwarizmi în formă latină [90] . La începutul secolului al XIII-lea, în Europa de Vest existau două sisteme numerice: vechiul, bazat pe abac și susținut de Herbert, și noul sistem indian pozițional, susținut de Leonardo Fibonacci. Treptat noul sistem a preluat controlul [85] [91] . Principalul său avantaj este simplificarea operațiilor aritmetice. Cu toate acestea, în Germania, Franța și Anglia, numerele noi nu au fost folosite până la sfârșitul secolului al XV-lea. O deplasare mai completă a vechii numerotări s-a produs abia în secolele XVI-XVII [91] .

În 1427, al-Kashi a descris sistemul fracțiilor zecimale , care a devenit larg răspândit după scrierile lui Stevin din 1585 [11] . Stevin a vrut să răspândească sistemul zecimal cât mai larg posibil. De aceea și-a scris compozițiile în franceză și flamandă , și nu în latină. În plus, a devenit un campion energic al introducerii sistemului zecimal de măsuri [37] .

Aritmetică modernă

În secolul al XVII-lea , astronomia nautică , mecanica și calculele comerciale mai complexe au impus noi cerințe aritmetice pentru tehnologia computațională și au dat impuls dezvoltării ulterioare. Conceptul de număr a suferit o schimbare semnificativă. Dacă mai devreme, în cea mai mare parte, numai numerele raționale pozitive erau atribuite domeniului numerelor, atunci începând din secolul al XVI-lea, numerele iraționale și negative au fost din ce în ce mai recunoscute. Newton , în prelegerile sale, împarte numerele în trei tipuri: numere întregi (măsurate cu o unitate), fracționale (fracțiuni multiple ale unei unități) și iraționale (incomensurabile cu o unitate). Din 1710, această definiție a numărului a fost inclusă ferm în toate manualele [92] .

La începutul secolului al XVII-lea, Napier a inventat logaritmii . Utilizarea logaritmilor și fracțiilor zecimale, includerea în aritmetică a conceptului de număr irațional ca șir de aproximări raționale a extins domeniul de aplicare a aritmeticii până la sfârșitul secolului al XVII-lea și a determinat importanța fundamentală a științei pentru studiul cantităților continue . [11] .

Procesul de revizuire critică a fundamentelor matematicii, care a avut loc în secolul al XIX-lea, este legat de lucrarea lui Lobachevsky asupra geometriei . Încă din secolul al XVIII-lea, încercările au început să ofere justificări teoretice ideilor despre număr. Leibniz a fost primul care a stabilit sarcina de a construi aritmetica în mod deductiv și, în special, a arătat necesitatea de a dovedi egalitatea „doi plus doi egal cu patru” în noile sale experimente asupra minții umane din 1705. Wolf în 1770, Schultz  în 1790, Ohm  în 1822, Grassmann  în 1861 și, în cele din urmă, Peano  în 1889 [93] și-au prezentat axiomele în încercarea de a rezolva această problemă .

În 1758, în Primele fundații ale aritmeticii, geometriei, trigonometriei plane și sferice și perspectivei, Kestner a susținut justificarea tuturor conceptelor aritmetice în termenii numărului întreg. Astfel a definit, în ordine în carte, numere naturale, fracții, numere negative, zecimale, numere iraționale și abia apoi teoria relațiilor [94] . În formarea teoriei numerelor negative, principala problemă a fost afirmația că un număr negativ este mai mic decât zero, adică mai mic decât nimic [95] .

O interpretare geometrică completă a numerelor complexe a fost propusă de Caspar Wessel în „An Essay on the Analytic Representation of Direction and its Applications, Principally to the Solution of Plane and Spherical Polygons” în 1799. Wessel a încercat să generalizeze teoria la spațiul tridimensional, dar nu a reușit. Întrebarea a rămas deschisă până când Hamilton a construit teoria cuaternionilor , a căror multiplicare nu respectă legea comutativă. În același timp, studiile lui Weierstrass, Frobenius și Pierce au arătat că oricare dintre legile aritmetice ar trebui abandonată pentru orice extindere a conceptului de număr dincolo de limitele numerelor complexe [96] .

Aritmetica în educație

Formarea conceptelor aritmetice este strâns legată de procesul de numărare. Se bazează pe elemente ale activității mentale precum capacitatea de a recunoaște un obiect; distinge obiectele; împărțiți un set de obiecte în elemente care sunt egale în numărare (cu alte cuvinte, utilizați o unitate de numărare); capacitatea de a aranja elementele secvențial , de a le aranja, ceea ce duce la numărarea obiectelor de diferite calități și formarea conceptului de număr. Procese similare pot fi observate în asimilarea conceptelor de către copii [11] .

Deci, care dintre discipline ar trebui studiată mai întâi, dacă nu cea care este începutul și acționează ca o mamă în raport cu alte [discipline]? Asta e doar aritmetică. Ea le precede pe toate celelalte, nu numai pentru că Dumnezeu însuși, creatorul acestui univers, a luat-o mai întâi pe ea ca model al gândirii sale și, conform [principiului] ei, a aranjat tot ceea ce, prin numere, prin puterea Minții creatoare, a găsit armonie în ordinea stabilită, dar și pentru că aritmetica este declarată anterioară că dacă entitățile care au precedat prin natura lor sunt eliminate, cele ulterioare sunt imediat eliminate. Dacă cele ulterioare pierd, atunci nimic din starea substanței anterioare nu se schimbă.

Standardele învățământului primar presupun numărarea și compararea numerelor până la un milion, lucrul cu unități de măsură de bază și relațiile dintre ele, efectuarea a patru operații aritmetice de bază (oral până la 100 și în scris până la 10.000), precum și împărțirea cu un rest, căutarea valorii unei expresii numerice constând din mai multe operații aritmetice [98] [99] . Materialul școlar este prezentat cu ajutorul reprezentărilor vizuale. În clasa I, copiii se ocupă cu imagini numerice și cantități de obiecte, numărarea urcă până la 20. În clasa a II-a, introduc sistemul zecimal, sistemul pozițional, tabla înmulțirii, numărarea urcă până la 100. În clasa a III-a, ei studiază operații aritmetice cu numere cu mai multe valori. Următorul pas este trecerea la denumirile de litere, cu alte cuvinte, de la concret la abstract. Cu aceasta, potrivit lui Klein, începe matematica [100] . Dificultatea studierii aritmeticii în școala elementară constă în faptul că este necesar să se efectueze calculul în mod abstract din natura obiectelor [101] .

Învățământul din gimnaziu este asociat cu extinderea conceptului de număr, introduceți fracții și acțiuni asupra acestora, numere negative, numere iraționale [102] . Numerele reale și complexe, precum și algoritmul lui Euclid și teorema fundamentală a aritmeticii, sunt clasificate ca învățământ secundar complet. Conform Standardului Educațional de Stat Federal Rus , „Conținutul secțiunii Aritmetică servește ca bază pentru studiul ulterioar al matematicii de către elevi, contribuie la dezvoltarea gândirii lor logice, la formarea capacității de a utiliza algoritmi și la dobândirea de aptitudini practice necesare în viața de zi cu zi” [103] .

În lumea modernă, alfabetizarea matematică este unul dintre obiectivele principale ale educației. Include, în special, capacitatea de a efectua operații aritmetice, de a efectua calcule și măsurători [104] . Organizații precum UNICEF și UNESCO [105] [106] se ocupă de problemele de alfabetizare matematică a copiilor și adulților .

În același timp, pentru o lungă perioadă de timp, predarea operațiilor aritmetice s-a redus la execuția mecanică a probelor. În China antică, s-a acordat multă atenție predării matematicii, inclusiv promovării examenelor. Matematica a fost studiată la Academia Imperială timp de șapte ani. Cu toate acestea, tratatele de matematică clasică au fost tratate ca dogme și retipărite fără modificări [107] .

În Europa, exercițiile sistematice de adunare, scădere, înmulțire și împărțire au fost propuse de Tartaglia în secolul al XVI-lea, dar nu au intrat în uz de mult timp [108] . În plus, în Evul Mediu existau reguli pentru rezolvarea unui număr mare de probleme private de aritmetică. În unele manuale există până la 26 de astfel de reguli și este posibil să nu coincidă de la manual la manual [109] . Unele reguli nu și-au pierdut actualitatea până în prezent. Acestea includ proporții (fracțiile au fost considerate ca rapoarte a două numere, ceea ce a condus la luarea în considerare a proporțiilor pentru efectuarea operațiilor), procente [110] .

Aritmetica este a patra dintre cele șapte arte liberale în ceea ce privește învățarea. Este precedat de un trivium format din Gramatică , Retorică și Dialectică și este ea însăși știința principală în quadrivium , care include și Geometrie , Muzică și Astronomie . Odată cu apariția primelor universități europene, matematica a fost predată în facultățile de artă ca quadrivium și a fost o disciplină auxiliară. Primele prelegeri de aritmetică au fost susținute de maestrul Universității din Viena Johann of Gmunden în 1412 [112] .

Aritmetica în filosofie și artă

După ce pitagoreicii au folosit relațiile numerelor întregi pentru a exprima relațiile geometrice ale segmentelor, precum și relații similare în armonie și muzică, au ajuns la concluzia că toate legile lumii pot fi descrise folosind numere, iar aritmetica este necesară în ordine. să exprime relații și să construiască un model de pace [113] . În același timp, una dintre descoperirile pitagoreenilor este că rapoartele numerelor întregi nu sunt suficiente pentru a exprima rapoartele oricăror segmente (diagonala și latura pătratului sunt incomensurabile), iar pe această bază este imposibil de construit geometrie metrică [73] . Problemele de construire a unei măsuri finite și de determinare a numărului real au scos la iveală o criză științifică în secolul al V-lea î.Hr. e., din care au fost implicate toate scolile filozofice ale Greciei antice. Zenon din Elea a reușit să arate toate dificultățile care apar în rezolvarea acestor probleme în paradoxurile sale, sau aporii [114] .

Marcianus Capella în tratatul său „Căsătoria filozofiei și Mercur” a creat imagini vizuale ale tuturor celor șapte arte, inclusiv aritmetica. Artele erau personificate de femei cu atribute adecvate, care erau însoțite de reprezentanți cunoscuți ai sferei. Aritmetica ține în mâini o tăbliță inscripționată cu cifre sau un abac. Pitagora [115] o însoțește .

Numărarea a fost una dintre testele lui Buddha . După concursuri de tir cu arcul , alergare şi înot , matematicianul Arjuna i - a ordonat să numească toate gradele numerice mai sus . Buddha a numit douăzeci și două de grade la (doar gradele impare aveau nume), iar acesta a fost doar primul număr, în al doilea număr Buddha a continuat să . Următoarea sarcină a lui Buddha a fost să numere numărul de atomi într-o milă și apoi în univers [116] . „Scări numerice” similare se găsesc în mod repetat în poezia religioasă indiană, în timp ce cuvintele pentru numere pot varia. Scopul unor astfel de scări este să se ridice deasupra lumii muritorilor. Cartea indiană „Lilavatistara” descrie competiția dintre pretendenții doamnei pământului, frumoasa Gopa, în scris , aritmetică, lupte și arta aruncării cu săgeți. O parte semnificativă a lucrării [117] este dedicată testelor de aritmetică .

Ca și în India, numerele foarte mari construite artificial de preoții maya vorbesc despre o dorință de a urca mai sus pe „scara numerică”, mai aproape de zei [118] .

Note

1. ↑ Să fie necesar să găsim rădăcina lui , - prima aproximare cu dezavantaj, - aproximarea cu exces. A doua aproximare este formată din formula mediei aritmetice , și îi corespunde , și așa mai departe) [68] .

1. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vinogradov I. M. Aritmetică // Enciclopedie Matematică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977. - T. 1.
2. ↑ 1 2 3 4 Vinogradov I. M. Aritmetică formală // Enciclopedie matematică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977. - T. 1.
3. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Aritmetică, știință // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron  : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MacDuffee CC Aritmetică . Enciclopaedia Britannica. Preluat la 20 martie 2012. Arhivat din original la 27 mai 2012.  (nedefinit)  (Engleză)
5. ↑ ARITMETICA . Marea Enciclopedie Rusă . Consultat la 15 iunie 2017. Arhivat din original pe 27 iunie 2017. (Rusă)
6. ↑ Arnold, 1938 , p. 3-5.
7. ↑ Pontryagin, 1986 , p. 4-6.
8. ↑ Belyustin V. Capitolul 12. Numărul și ordinea acțiunilor, semnelor și definițiilor // Cum au ajuns oamenii treptat la aritmetica reală . - M . : Tipografia lui K. L. Menshov, 1909.
9. ↑ Depman, 1965 , p. 195-199.
10. ↑ Arnold, 1938 , p. 151-156.
11. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Aritmetică // Marea Enciclopedie Sovietică  : [în 30 de volume]  / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M .  : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
12. ↑ Algebra // Marea Enciclopedie Sovietică  : [în 30 de volume]  / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M .  : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
13. ↑ Depman, 1965 , p. 21-25.
14. ↑ Depman, 1965 , p. 129-130.
15. ↑ 1 2 3 Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 23-24.
16. ↑ 1 2 3 4 Depman, 1965 , p. 212-232.
17. ↑ 1 2 3 Depman, 1965 , p. 204.
18. ↑ Aritmetică, 1951 , p. 142.
19. ↑ Klein, 1987 , p. 23-26.
20. ↑ 1 2 3 4 Klein, 1987 , p. 26-35.
21. ↑ Aritmetică, 1951 , p. 77-79.
22. ↑ Klein, 1987 , p. 37-44.
23. ↑ Aritmetică, 1951 , p. 157.
24. ↑ Klein, 1987 .
25. ↑ 1 2 3 Arithmetika, 1951 , p. 172-178.
26. ↑ Aritmetică, 1951 , p. 188-201.
27. ↑ Aritmetică, 1951 , p. 227.
28. ↑ Klein, 1987 , p. 35-36.
29. ↑ 1 2 Klein, 1987 , p. 23-25.
30. ↑ ARITMETĂ // Enciclopedia lui Collier. — Societate deschisă. — 2000.
31. ↑ 1 2 Knuth , p. 216.
32. ↑ Istoria matematicii, vol. II, 1970 , p. 66-67.
33. ↑ Istoria matematicii, vol. III, 1972 , p. 42-45.
34. ↑ Klein, 1987 , p. 45-49.
35. ↑ Depman, 1965 , p. 263-267.
36. ↑ Boyer & Merzbach, 2010 , Aritmetică și logistică.
37. ↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , p. 57-71.
38. ↑ Knuth , p. 216, 221.
39. ↑ Depman, 1965 , p. 275-285.
40. ↑ Klein, 1987 , p. 49-57.
41. ↑ 1 2 3 Vinogradov I. M. Teoria numerelor // Enciclopedia matematică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977. - T. 5.
42. ↑ Vinogradov I. M. Teoria elementară a numerelor // Mathematical Encyclopedia. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977. - T. 5.
43. ↑ Arnold, 1938 , p. 413-415.
44. ↑ 1 2 3 Metoda axiomatică // Marea Enciclopedie Sovietică  : [în 30 de volume]  / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M .  : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
45. ↑ Aritmetică, 1951 , p. 100-107.
46. ↑ 1 2 3 Depman, 1965 , p. 117-126.
47. ↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , p. 135-138.
48. ↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , p. 139-142.
49. ↑ Aritmetică, 1951 , p. 133.
50. ↑ 1 2 3 4 Arithmetika, 1951 , p. 150-151.
51. ↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , p. 172-179.
52. ↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , p. 160-167.
53. ↑ Depman, 1965 , p. 258-262.
54. ↑ Aritmetică, 1951 , p. 188.
55. ↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , p. 202.
56. ↑ Aritmetică, 1951 , p. 228.
57. ↑ 1 2 3 4 5 Aritmetică formală // Marea Enciclopedie Sovietică  : [în 30 de volume]  / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M .  : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
58. ↑ Avigad, 2003 , p. 260.
59. ↑ Nechaev, 1975 , p. 52-53.
60. ↑ Nechaev, 1975 , p. 48.
61. ↑ Nechaev, 1975 , p. 68-72.
62. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 19-20.
63. ↑ 1 2 Depman, 1965 , p. 49-52.
64. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 25.
65. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 34.
66. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 40.
67. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. cincizeci.
68. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 46-47.
69. ↑ Depman, 1965 , p. 53-54.
70. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 62.
71. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 68-69.
72. ↑ 1 2 Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 74-76.
73. ↑ 1 2 Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 73.
74. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 144-146.
75. ↑ Depman, 1965 , p. 57-58.
76. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 178.
77. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 160-161.
78. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 163-164.
79. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 167-169.
80. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 183-185.
81. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 185.
82. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 190-191.
83. ↑ 1 2 Depman, 1965 , p. 72-78.
84. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 209-210.
85. ↑ 1 2 Depman, 1965 , p. 90-94.
86. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 211-212.
87. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 212-214.
88. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 218-219.
89. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 254-256.
90. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 256-257.
91. ↑ 1 2 Arithmetika, 1951 , p. 50-57.
92. ↑ Istoria matematicii, vol. II, 1970 , p. 34-36.
93. ↑ Istoria matematicii, vol. III, 1972 , p. 47-49.
94. ↑ Istoria matematicii, vol. III, 1972 , p. 49-52.
95. ↑ Istoria matematicii, vol. III, 1972 , p. 52-56.
96. ↑ Istoria matematicii, vol. III, 1972 , p. 61-66.
97. ↑ Boethius. I, 1 // Fundamentele aritmeticii .
98. ↑ Programul educațional de bază aproximativ al unei instituții de învățământ. Școala elementară (link inaccesibil) . Standardul educațional al statului federal. Consultat la 5 decembrie 2012. Arhivat din original pe 7 decembrie 2012. (nedefinit) 
99. ↑ Programul educațional de bază aproximativ al unei instituții de învățământ. scoala primara / comp. E. S. Savinov. - a 4-a. - M . : Educație, 2013. - S. 32-35. — 223 p. — ISBN 9785090264167 . Copie arhivată (link indisponibil) . Data accesului: 6 decembrie 2012. Arhivat din original pe 24 august 2013. (nedefinit) 
100. ↑ Klein, 1987 , p. 20-23.
101. ↑ Depman, 1965 , p. 1-3, 103-109.
102. ↑ Klein, 1987 , p. 37.
103. ↑ Programe aproximative pentru disciplinele academice. Matematică (link inaccesibil) . Standardul educațional al statului federal. Consultat la 5 decembrie 2012. Arhivat din original pe 7 decembrie 2012. (nedefinit) 
104. ↑ Literacy, Mathematical Ability, and Problem Solving Skills in a Technological Advanced Society (link inaccesibil) . Universitatea Naţională de Cercetare Şcoala Superioară de Economie. Consultat la 5 decembrie 2012. Arhivat din original pe 7 decembrie 2012. (nedefinit) 
105. ↑ Definirea calității în educație  (engleză)  (link inaccesibil) . UNICEF . Consultat la 5 decembrie 2012. Arhivat din original la 15 octombrie 2012.
106. ↑ Educație pentru toate  obiectivele . UNESCO . Consultat la 5 decembrie 2012. Arhivat din original pe 7 decembrie 2012.
107. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 157.
108. ↑ Depman, 1965 , p. 199-203.
109. ↑ Depman, 1965 , p. 305.
110. ↑ Depman, 1965 , p. 306.
111. ↑ Arte liberale . Enciclopaedia Britannica. Preluat la 20 martie 2012. Arhivat din original la 27 mai 2012.  (nedefinit)  (Engleză)
112. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 259-260.
113. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 67.
114. ↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 88-89.
115. ↑ Şapte arte liberale (link inaccesibil) . Simbolariu. Preluat la 20 martie 2012. Arhivat din original la 27 mai 2012. (nedefinit) 
116. ↑ Menninger, 2011 , p. 176-179.
117. ↑ Aritmetică, 1951 , p. 49.
118. ↑ Menninger, 2011 , p. 82.

Literatură

• Arnold IV Aritmetică teoretică. - M . : Editura educaţională şi pedagogică de stat, 1938. - 481 p.
• Depman I. Ya. Istoria aritmeticii . - M . : Educaţie, 1965. - 400 p.
• Klein F. Matematică elementară dintr-un punct de vedere superior. - M . : Nauka, 1987. -  T. I: Aritmetică. Algebră. Analiză.  — 432 p.
• Knut D. E. Aritmetică // Arta programarii. - M.  - T. II. — 830 p.
• Menninger K. Istoria numerelor. Numere, simboluri, cuvinte. - M. : ZAO Tsentrpoligraf, 2011. - 543 p. — ISBN 9785952449787 .
• Nechaev V. I. Sisteme numerice. - M . : Educaţie, 1975. - 199 p.
• Pontryagin L. S. Generalizări ale numerelor . — M .: Nauka, 1986. — 120 p. - ( Biblioteca „Quantum” ).
• Serre J.-P. Curs de aritmetică / per. din franceza A. I. Skopin, ed. A. V. Malysheva. - M . : Mir, 1972. - 184 p.
• Istoria matematicii: în 3 volume / editat de A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. I: Din cele mai vechi timpuri până la începutul New Age.
• Istoria matematicii: în 3 volume / editat de A. P. Yushkevich. - M . : Nauka, 1970. - T. II: Matematica secolului al XVII-lea.
• Istoria matematicii: în 3 volume / editat de A. P. Yushkevich. - M . : Nauka, 1972. - T. III: Matematica secolului al XVIII-lea.
• Enciclopedia matematicii elementare. Cartea unu. Aritmetică / editat de P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich și A. Ya. Khinchin. - M. - L .: Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1951. - 448 p.
• Avigad, Jeremy. Teoria numerelor și aritmetica elementară  // Philosophia Mathematica. - 2003. - Vol. 11, nr. 3 . - P. 257-284.  (Engleză)
• Boyer CB, Merzbach UC O istorie a matematicii . — John Wiley & Sons, 2010. — 640 p.  (Engleză)

Link -uri

• Aritmetică la mathworld.wolfram.com  _

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Mare norvegian Rusă mare Mare ucraineană Brockhaus și Efron in jurul lumii Micul Brockhaus și Efron Britannica (online) Treccani Ucraina modernă
În cataloagele bibliografice	GND : 4002919-0 J9U : 987007294694905171 LCCN : sh85007163 NDL : 00570203 NKC : ph118605