Proiector (matematică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 aprilie 2022; verificarea necesită 1 editare .

În algebra liniară și analiza funcțională , un operator liniar care acționează într-un spațiu liniar este numit proiector (și, de asemenea , operator de proiecție și operator de proiecție ) dacă . Un astfel de operator se numește idempotent . $P$ $P^{2}=P$

În ciuda abstractității sale, această definiție generalizează ideea de a construi o proiecție geometrică .

Următoarea proprietate a unui proiector poate fi folosită ca definiție: un operator liniar este un proiector dacă și numai dacă există astfel de subspații și spații care se extind în suma lor directă și, în plus, pentru orice pereche de elemente pe care o avem . Subspațiile și sunt, respectiv , imaginea și nucleul proiectorului și sunt notate cu și . $P:X\la X$ $U$ $V$ $X$ $X$ $u\in U,\v\in V$ $P(u+v)=u$ $U$ $V$ $P$ $\mathrm {Im} P$ $\mathrm {Ker} P$

În cazul general, descompunerea unui spațiu liniar într-o sumă directă nu este unică. Prin urmare, pentru un subspațiu al spațiului , în general, există multe proiectoare a căror imagine sau nucleu coincide cu . $V$ $X$ $V$

Proprietățile operatorilor de proiecție

Fie operatorul identic . Dacă este un proiector, atunci este și un proiector, în plus, și . $eu$ $P$ $IP$ ${\mathrm {Ker}}{(IP)}={\mathrm {Im}}{P}$ $\mathrm {Im} {(IP)}=\mathrm {Ker} P$
Într -un spațiu normat cu dimensiuni finite , toți operatorii de proiecție sunt continui .
Pentru un spațiu Banach , operatorul de proiecție va fi continuu dacă imaginea sa este închisă , iar nucleul proiectorului va fi și el închis. Astfel, proiectorul continuu defineste descompunerea spatiului intr-o suma directa de subspatii inchise: . $X={\mathrm {Ker}}P\oplus {\mathrm {Im}}\,P$
Valorile proprii ale unui proiector pot fi doar 0 și 1. Spațiile proprii corespunzătoare ale unui proiector sunt nucleul și imaginea acestuia.

Combinații de proiectoare

Fie și proiectoare definite pe spațiul vectorial și proiectând pe subspații și, respectiv. Apoi $P_1$ $P_2$ $X$ $M_{1}$ $M_{2}$

$P_{1}+P_{2}$ este un proiector pe subspațiu dacă și numai dacă . $M_{1}\oplus M_{2}$ $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0$
$P_{1}-P_{2}$ este un proiector dacă și numai dacă . proiectează în subspațiu . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P_{2}$ $P_{1}-P_{2}$ $M_{1}\cap (X\ominus M_{2})$
Dacă , atunci este un proiector pe subspațiu . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P$ $P$ $M_{1}\cap M_{2}$

Exemple

Proiecția ortogonală (vezi mai jos ) a punctelor din spațiu pe un plan este dată de matrice $(x,y,z)$ $R^{3}$ $Oxy$

P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.

Acționează asupra punctelor după cum urmează:

P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}

Cel mai simplu proiector non-ortogonal realizează o proiecție oblică a punctelor planului pe o linie dreaptă . Este dat de matricea:

P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.

Este ușor să arăți că acesta este într-adevăr un proiector:

P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0 \\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.

Proiecția dată de este ortogonală dacă și numai dacă . $P$ $\alpha=0$

Ortoproiector

Dacă spațiul este Hilbert , adică are un produs interior (și de aici conceptul de ortogonalitate ), atunci putem introduce conceptul de proiector ortogonal. $X$

Un proiector ortogonal este un caz special al unui proiector când subspațiile menționate mai sus și sunt ortogonale între ele, cu alte cuvinte, când , sau , sau . În acest caz, proiecția unui element este elementul de spațiu cel mai apropiat de acesta . $U$ $V$ $\forall u\in U,\forall v\in V$ $(u,v)=0$ $u\cdot v=0$ $u\perp v=0$ $x\în X$ $U$

Literatură

Trenogin V. A. Analiza functionala. — M .: Nauka , 1980 . — 495 p.
Halmos P. Spații vectoriale cu dimensiuni finite = Spații vectoriale cu dimensiuni finite. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 p.