Funcție simplă

O funcție simplă este o funcție măsurabilă care ia un număr finit de valori.

Definiție

O funcție definită pe un spațiu măsurabil se numește simplă dacă există o partiție într-un număr finit de mulțimi măsurabile care nu se intersectează și un set de numere (de obicei reale sau complexe), astfel încât pentru orice . $f$ $(X,{\mathcal {F}})$ $X$ $A_1,\dots,A_n$ $a_1,\dots,a_n$ $f(x)=a_{i)$ $x\in A_{i)$

Note

Dacă este un spațiu de probabilitate , atunci o funcție simplă se numește variabilă aleatoare simplă . $(X,{\mathcal {F))}\equiv (\Omega, {\mathcal {F))}$
Dacă este un spațiu cu măsură , simplu și $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f:X\to \mathbb {R}$

f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\mathbf {1} }_{A_{i}}(x),x\in X

și ,

\mu (A_{i})<\infty,\forall i=1,\ldots,n

apoi Lebesgue integrabil , și

f

\int \limits _{X}f\,d\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})

Exemplu

Fie , unde este sigma-algebra Borel pe , și este măsura Lebesgue . Apoi funcția $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B)}(\mathbb {R} ),m)$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $m$

f(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{matrix}}\right.,x\ în \mathbb {R}

simplu, pentru că este măsurabil și ia trei valori diferite.

Literatură

Rudin, U. Fundamentals of mathematical analysis = Principles of mathematical analysis / Tradus din engleză. V. P. Khavin . - M . : Mir, 1966. - 319 p.