Spațiul Besov

Spațiile Beșov sunt spații complete quasimetrice ale funcțiilor care sunt spații Banach pentru 1 ≤ p , q ≤ ∞ . Numit după dezvoltatorul - matematicianul sovietic Oleg Vladimirovici Besov . Aceste spații, împreună cu spațiile Triebel-Lizorkin definite într-un mod similar , sunt generalizări ale spațiilor funcționale mai simple și sunt utilizate pentru a determina proprietățile de regularitate ale funcțiilor. $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$

Definiție

Există mai multe definiții echivalente, una dintre ele este dată aici.

Lăsa

\Delta _{h}f(x)=f(x+h)-f(x)

iar modulul de continuitate este definit ca

\omega^2_p(f,t) = \sup_{|h| \le t} \left \| \Delta^2_h f \right \|_p.

Fie n un număr întreg nenegativ și s = n + α cu 0 < α ≤ 1 . Spatiul Besov este format din functii f astfel incat $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$

f\in W^{n,p}(\mathbb {R}),\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2 }\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}<\infty ,

unde este spatiul Sobolev . ${\bar {W}}^{n,p}(\mathbb {R} )$

Norma

Există o normă în spațiul Beșov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$

\left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p} (\mathbb {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n) },t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}

Spațiile Beșov coincid cu cele mai obișnuite spații Sobolev . $B_{2,2}^{s}(\mathbb {R} )$ $H^{s}(\mathbb {R} )$

Dacă și nu este un număr întreg, atunci , unde este spațiul Sobolev . $p=q$ $s$ $B_{p,p}^{s}(\mathbb {R} )={\bar {W}}^{s,p}(\mathbb {R} )$ ${\bar {W}}^{s,p}(\mathbb {R} )$

Teorema de încorporare

Să , , . $1<p\leqslant q<\infty$ $-\infty <t\leqslant s<\infty$ $r\in [1,\infty ]$

Dacă egalitatea este valabilă, atunci există o încorporare continuă $sn/p=tn/q,$

$B_{p,r}^{s}(\mathbb {R} ^{n})\subset B_{q,r}^{t}(\mathbb {R} ^{n}).$

Dacă , și cel puțin una dintre cele două condiții este îndeplinită: sau nu este un întreg, atunci investiția este adevărată $s=n/p+t$ $t>0$ $r=1$ $t$

$B_{p,r}^{s}(\mathbb {R} ^{n})\subset C^{t}(\mathbb {R} ^{n}).$

Notă : pentru , spațiul poate fi înțeles ca spațiu dual cu , unde $s<0,\ q\neq 1$ $B_{p,r}^{s}(\mathbb {R} ^{n})$ $B_{p',r'}^{s'}(\mathbb {R} ^{n})$ $s'=-s,\1/p+1/p'=1,\1/r+1/r'=1.$

Interpolarea spațiilor Beșov

Să , , . $s_{0},s_{1}\in \mathbb {R}$ $s_{0}\neq s_{1},\p\in (1,\infty )$ $q_{1},q_{2},q\in [1,\infty ],\\theta \in (0,1)$

Atunci următoarea egalitate este adevărată pentru spațiile de interpolare $\left(B_{p,q_{1}}^{s_{0}}(\mathbb {R} ^{n}), B_{p,q_{2}}^{s_{1}} (\mathbb {R} ^{n})\right)_{\theta ,q}=B_{p,q}^{(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1}}(\ mathbb {R} ^{n}).$

Literatură

O.V. Besov, „Pe o anumită familie de spații funcționale. Teoreme de încorporare și continuare”, Dokl. AN SSSR, 126:6 (1959), 1163–1165
Triebel, H. „Teoria spațiilor funcționale II”. (Engleză)
Triebel, H. „Teoria interpolării, spații funcționale, operatori diferențiali”, 1980.
DeVore, R. şi Lorentz, G. „Constructive Aproximation”, 1993 .
DeVore, R., Kyriazis, G. și Wang, P. " Caracterizările multiscale ale spațiilor Besov pe domenii mărginite ", Journal of Approximation Theory 93, 273-292 (1998). (Engleză)

Link -uri

9.2 Spații Beșov / D. Picard, „Wavelets, aproximation and statistical applications” (traducere de K.A. Alekseev), ISBN 978-1-4612-2222-4 , 1998