Fock spațiu

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 9 decembrie 2019; verificările necesită 13 modificări .

Spațiul Fock este o construcție algebrică a spațiilor Hilbert cu o singură particule utilizată în teoria cuantică a câmpurilor pentru a descrie stările cuantice ale unui număr variabil sau necunoscut de particule . Numit după fizicianul sovietic Vladimir Alexandrovich Fock .

În mod formal, spațiul Fock este definit de suma directă a subspațiilor produsului tensor (puteri tensorii) al spațiilor Hilbert cu o particulă.

F_{\nu }(H)=\bigoplus _{{n=0}}^({\infty }}S_{\nu }H^{{\otimes n}}

unde S ν este un operator care face ca spațiul Hilbert să fie simetric sau antisimetric, în funcție de faptul că descrierea este a particulelor bosonice (ν = +) sau fermionice (ν = −); H este un spațiu Hilbert cu o particulă care descrie stările cuantice ale unei singure particule. Spațiul Fock servește pentru a descrie stările cuantice ale unui sistem de n particule sau o suprapunere a acestor stări. Stările Fock sunt baza naturală a spațiului Fock. (Vezi și Determinantul lui Slater .)

Exemplu

|\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }

Aici n este numărul total de particule, prima având o funcție de undă φ 1 , următoarea φ 2 și așa mai departe până la a n- a particulă, unde φ i reprezintă orice funcție de undă din spațiul Hilbert cu o singură particulă ( H ) . Vorbind despre o particulă în starea φ i , este necesar să se țină seama de faptul că în mecanica cuantică particulele identice nu se pot distinge unele de altele, iar în același spațiu Fock vor fi, de asemenea, identice (descrierile diferitelor particule sunt efectuate folosind tensorul). produse ale numărului corespunzător de spații Fock) . Aceasta este cea mai puternică afirmație din formalismul lui Fock, din care rezultă că stările sunt în esență perfect simetrice. De exemplu, dacă statul | Ψ > este fermionic, atunci va fi egal cu zero dacă doi sau mai mulți φ i sunt egali, deoarece, conform principiului Pauli, niciunul dintre doi (sau mai mulți) fermioni nu poate fi în aceeași stare cuantică. În plus, toate stările sunt normalizate în mod ideal, ceea ce rezultă și din considerentele de mai sus.

O bază utilă și convenabilă pentru acest spațiu este baza pentru numărul de ocupare a particulelor . Deci, dacă | ψ i > este baza lui H , atunci putem presupune că există n 0 particule în acest spațiu în starea | ψ 0 >, n 1 particule în starea | ψ 1 >, …, n k particule în starea | ψ k >, adică

|n_{0},n_{1},\cdots ,n_{k}\rangle _{\nu },

pentru fiecare n i , unde i ia valori de la 0 la 1 pentru fermioni și 0,1,2, … pentru bozoni.

O astfel de stare se numește stare Fock. Daca intelegi | | ψ i > ca stări stabile ale unui câmp de dimensiuni arbitrare, adică un număr strict definit de particule, atunci spațiul Fock este definit ca un set destul de mare de particule care nu interacționează. Cea mai obișnuită stare este o suprapunere liniară a stărilor Fock. Cei doi operatori de importanță capitală aici sunt operatorii de creare și anihilare , care, acționând asupra spațiului Fock, adaugă și îndepărtează o particulă cu o stare cuantică atribuită acesteia. Ele sunt desemnate respectiv și , și se referă la spațiul cuantic în care particula este adăugată sau îndepărtată. Este adesea convenabil să se lucreze cu stări ale bazei spațiului H astfel încât acești operatori să adauge sau să elimine exact o particulă într-un spațiu dat. Acești operatori servesc, de asemenea, ca bază pentru operatori spațiali Fock mai generali, cum ar fi operatorul numărul de particule , care setează numărul de particule într-o anumită stare la . $a^{{\pumnal }}(\phi _{i})$ $a(\phi _{i})$ $\phi_i$ $|\phi _{i}\rangle$ $|\phi _{i}\rangle$ $a^{{\dagger }}(\phi _{i})a(\phi _{i})$

Literatură

Berezin F. A. A doua metodă de cuantizare. — M.: Nauka, 1986. — 320 p.
V. Fock. Z Phys . 75, 622-647 (1932)
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Introducere în teoria câmpurilor cuantificate. — M.: Nauka, 1984. — S. 98-100.
MC Reed, B. Simon . Metode ale fizicii matematice moderne, volumul II. - Presa Academică, 1975. - P. 328.