Ramanujan Primes

Primele Ramanujan sunt o subsecvență de numere prime asociate cu teorema lui Ramanujan , care rafinează postulatul lui Bertrand despre funcția de distribuție a primelor .

Istorie

În 1845, Bertrand a emis ipoteza că

\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant 1

pentru toți , unde funcția de distribuție a primelor este egală cu numărul de prime care nu depășește . Această ipoteză a fost dovedită de Cebyshev în 1850. În 1919, Ramanujan, observând prioritatea lui Cebyshev, a demonstrat într-un articol de două pagini o teoremă mai puternică, care definește succesiunea primelor Ramanujan: [1] $x\geqslant 2$ $\pi(x)$ $X$

\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant 1,2,3,4,5,\ldots

pentru toți respectiv (secvența A104272 în OEIS ). $x\geqslant 2,11,17,29,41,\ldots$

Definiție

Un prim Ramanujan este cel mai mic număr întreg care este valabil pentru oricare $R_n$ $x\geqslant R_{n}$

\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant n.

Conform teoremei Ramanujan, această diferență nu este mai mică pentru toată lumea și tinde spre infinit. $x\geqslant R_{n}$ $n$

Trebuie remarcat că este în mod necesar un număr prim: , și, prin urmare, trebuie să crească, ceea ce este posibil numai dacă prim. $R_n$ $\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)$ $\pi (x),$ $R_n$