Vibrații pseudo-armonice

Oscilația pseudo-armonică este un tip de oscilație pentru care forța de restabilire (forța care tinde să readucă corpul într-o stare de echilibru) nu este liniară în mărimea abaterii. Cu alte cuvinte, acestea sunt vibrații pentru care „flexibilitatea” sistemului depinde de deplasare.

Ecuația de oscilație

Forma generală a ecuației oscilațiilor pseudoarmonice:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,x^{2},x^{3},\dots )

Dacă este posibil să se neglijeze toți termenii lui F care sunt neliniari în x, atunci această ecuație se transformă într-o ecuație de oscilații armonice .

Exemple

La ambele capete se fixează un fir elastic fără greutate de lungime 2l. O sarcină de masă m este fixată în mijlocul firului. În momentul inițial de timp, sarcina este îndepărtată din poziția de echilibru pe o distanță a << l și eliberată fără viteza inițială. Forța de întindere a firului este P, secțiunea sa transversală este F și modulul lui Young este E. Ecuația de oscilație în acest caz se va scrie astfel:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {2Px}{l}}-{\frac {EFx^{3}}{l^{ 3}}}

Soluția acestei ecuații poate fi reprezentată astfel:

x=a\,\operatorname {cn} \left({\sqrt {\frac {2Pl+EFa^{2}}{ml^{3}}}}t\right)

Aici simbolul denotă funcția eliptică Jacobi . Perioada unor astfel de oscilații este egală cu: $\operatorname {cn}$

T=4{\sqrt {\frac {ml^{3}}{2Pl+EFa^{2}}}}K\left({\sqrt {\frac {EFa^{2}}{4Pl^ {2}+2EFa^{2}}}}\dreapta)

Aici K este integrala eliptică normală completă de primul fel

Vezi și

Vibrații armonice

Literatură

Yu.S. Ecuații diferențiale ordinare Sikorsky //M., URSS, 2005