Funcții eliptice Jacobi

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 2 ianuarie 2020; verificările necesită 2 modificări .

Funcțiile eliptice Jacobi sunt un set de funcții eliptice de bază ale unei variabile complexe și funcții theta auxiliare care sunt direct legate de unele probleme aplicate (de exemplu, ecuația pendulului ). Ele au, de asemenea, analogii utile cu funcțiile trigonometrice , așa cum arată notația corespunzătoare pentru . Ele nu oferă cel mai simplu mod de a dezvolta o teorie generală, așa cum sa menționat recent: acest lucru se poate face pe baza funcțiilor eliptice Weierstrass . Funcțiile eliptice Jacobi au doi poli simpli și două zerouri simple în paralelogramul principal. $\operatorname{\mathrm{sn))$ $\păcat$

Introducere

Există o funcție eliptică care are un pol de ordinul doi și două zerouri simple în paralelogramul principal; aceasta este „funcția eliptică Weierstrass”. Mai utile, însă, sunt „funcțiile eliptice Jacobi”, care au doi poli simpli și două zerouri simple în fiecare paralelogram principal. Fiecare dintre aceste funcții din paralelogramul principal ia orice valoare exact de două ori.

Denumire

Pentru funcțiile eliptice, se pot întâlni diverse notații care pot încurca esența materiei. Funcțiile eliptice sunt funcții a două variabile. Prima variabilă poate fi dată în termeni de amplitudine sau, de obicei, în termeni de mai jos. A doua variabilă ar putea fi dată în termeni de parametru , fie ca modul eliptic , unde , fie în termeni de unghi modular , unde . $\varphi$ $u$ $m$ $k$ $k^{2}=m$ ${\mbox{æ}}$ $m=\sin ^{2}{\mbox{æ}}$

Definiție ca inverse la integralele eliptice

Definiția de mai sus în ceea ce privește funcțiile meromorfe este abstractă. Există o definiție mai simplă, dar absolut echivalentă, care definește funcțiile eliptice ca inverse ale unei integrale eliptice incomplete de primul fel. Lăsa

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.

Funcția eliptică este dată ca $\operatorname {sn} u$

\operatorname {sn} u=\sin \varphi

și hotărâtă $\operatorname {cn} u$

\operatorname {cn} u=\cos \varphi ,

\operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi )).

Aici unghiul se numește amplitudine . numită amplitudine delta . Valoarea este un parametru liber care se presupune a fi real în intervalul , și astfel funcțiile eliptice sunt funcții a două argumente: amplitudine și parametru . $\varphi$ $\operatorname {dn} u=\Delta (u)$ $m$ $0\leqslant m\leqslant 1$ $\varphi$ $m$

Cele nouă funcții eliptice rămase sunt ușor de construit din cele trei de mai sus. Acest lucru se va face mai jos.

Rețineți că atunci când , atunci este egal cu un sfert din perioadă . $\varphi =\pi /2$ $u$ $K$

Definiție în termeni de funcții theta

În mod echivalent, funcțiile eliptice Jacobi pot fi definite în termeni de funcții θ . Dacă definim ca și, respectiv, ca ( constante teta ), atunci modulul eliptic este . Presupunând că obținem $\vartheta (0;\;\tau )$ $\vartheta$ $\vartheta _{01}(0;\;\tau ),\vartheta _{10}(0;\;\tau ),\;\vartheta _{11}(0;\;\tau )$ $\vartheta _{01},\;\vartheta _{10},\;\vartheta _{11}$ $k$ $k=\left({\frac {\vartheta _{10}}{\vartheta }}\right)^{2}$ $u=\pi \vartheta ^{2}z$

\operatorname {sn} (u;\;k)=-{\frac {\vartheta \vartheta _{11}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01 }(z;\;\tau )}},

\operatorname {cn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau )}},

\operatorname {dn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta (z;\;\tau )}{\vartheta \vartheta _{01}(z;\ ;\tau )}}.

Deoarece funcțiile Jacobi sunt definite în termeni de modul eliptic , este necesar să se găsească inversele lor și să le exprimă în termeni de . Să începem cu un modul suplimentar . Cum se scrie o funcție $k(\tau )$ $\tau$ $k$ $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ $\tau$

k'(\tau )=\left({\frac {\vartheta _{01}}{\vartheta }}\right)^{2}.

Să introducem notația

\ell ={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\sqrt {k'}}}{1+{\sqrt {k'}}}}={\frac {1 }{2}}{\frac {\vartheta -\vartheta _{01}}{\vartheta +\vartheta _{01}}}.

De asemenea, definim numele și îl extindem într-o serie în puteri ale nome . obține $q$ $q=\exp(\pi i\tau )$ $\ell$ $q$

\ell ={\frac {q+q^{9}+q^{25}+\ldots }{1+2q^{4}+2q^{16}+\ldots )).

Inversarea seriei dă

q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ ell ^{25}+\ldots

Deoarece putem considera cazul special în care partea imaginară este mai mare sau egală cu , putem spune că valoarea este mai mică sau egală cu . Pentru valori atât de mici, seria de mai sus converge foarte repede, iar acest lucru facilitează găsirea unei valori potrivite pentru . $\tau$ ${\sqrt {3}}/2$ $q$ $\exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)$ $q$

Alte caracteristici

Schimbând ordinea a două litere în numele funcțiilor, ele indică de obicei inversul celor trei funcții de mai sus:

\operatorname {ns} (u)=1/\operatorname {sn} (u),

\operatorname {nc} (u)=1/\operatorname {cn} (u),

\operatorname {nd} (u)=1/\operatorname {dn} (u).

Raporturile celor trei funcții principale sunt notate cu prima literă a numărătorului după prima literă a numitorului:

\operatorname {sc} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,

\operatorname {sd} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {dn(u)} ,

\operatorname {dc} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,

\operatorname {ds} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,

\operatorname {cs} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,

\operatorname {cd} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {dn(u)} .

Să scriem mai pe scurt

\operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pr} (u)}{\operatorname {qr(u)} )),

unde toate literele , , și sunt orice litere , , , (rețineți că ). $\operatorname {p}$ $\operatorname {q}$ $\operatorname {r}$ $\operatorname {s}$ $\operatorname {c}$ $\operatorname {d}$ $\operatorname {n}$ $\operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1$

Teoreme suplimentare

Funcțiile satisfac două relații algebrice

\operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1,

\operatorname {dn} ^{2}+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}=1.

Se poate observa că ( , , ) parametriză curba eliptică , care este intersecția a două cvadrici definite de cele două ecuații de mai sus. Putem defini acum legea grupului pentru punctele acestei curbe folosind formule suplimentare pentru funcțiile Jacobi $\operatorname {cn}$ $\operatorname {sn}$ $\operatorname {dn}$

\operatorname {cn} (x+y)={\frac {\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\,\operatorname { sn} (y)\,\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\, \operatorname {sn} ^{2}(y)}},

\operatorname {sn} (x+y)={\frac {\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {cn} (y)\,\operatorname {dn} (y)+\operatorname { sn} (y)\,\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {dn} (x)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\, \operatorname {sn} ^{2}(y)}},

\operatorname {dn} (x+y)={\frac {\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)-k^{2}\,\operatorname {sn} ( x)\,\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{ 2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.

Funcțiile trigonometrice și hiperbolice ca un caz special de eliptică

Dacă , atunci $m=1$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta })))=\operatorname {ln } \left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\operatorname {tg} \varphi \right).

De aici

\sin \varphi =\operatorname {sn} \,u={\frac {e^{2u}-1}{e^{2u}+1}}=\operatorname {th} \,u.

De aici

\operatorname {cn}\,u={\sqrt {1-\operatorname {sn}^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch}\,u}}

și

\operatorname {dn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u}} .

Astfel, la , funcțiile eliptice degenerează în unele hiperbolice . $m=1$

Dacă , atunci $m=0$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }d\theta =\varphi .

De aici

\sin \varphi =\sin \,u=\operatorname {sn} \,u,

precum și

\operatorname {cn} \,u=\cos \,u,

\operatorname {dn} \,u=1.

Astfel, la , funcțiile eliptice degenerează în funcții trigonometrice . $m=0$

Relația dintre pătratele funcțiilor

Pentru pătratele acestor funcții, următoarele relații sunt adevărate

-\operatorname {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operatorname {cn} ^{2}(u)=m\;\operatorname {sn} ^{2 }(u)-m,

-m_{1}\;\operatorname {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\operatorname {sd} ^{2}(u)=m\ ;\operatorname {cd} ^{2}(u)-m,

m_{1}\;\operatorname {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operatorname {nc} ^{2}(u)=\operatorname {dc } ^{2}(u)-m,

\operatorname {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operatorname {ds} ^{2}(u)=\operatorname {ns} ^{2}(u)-m,

unde si . $m+m_{1}=1$ $m=k^{2}$

Egalități suplimentare pentru pătrate pot fi obținute notând că , și , unde , , sunt orice litere , , , și . $\operatorname {pq}^{2}\cdot \operatorname {qp}^{2}=1$ $\operatorname {pq}=\operatorname {pr}/\operatorname {qr}$ $\operatorname {p}$ $\operatorname {q}$ $\operatorname {r}$ $\operatorname {s}$ $\operatorname {c}$ $\operatorname {d}$ $\operatorname {n}$ $\operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1$

Nume

Fie nom egal și argumentul să fie . Apoi funcțiile pot fi reprezentate ca sume Lambert $q=\exp(-\pi K'/K)$ $v=\pi u/(2K)$

\operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin(2n+1)v,

\operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}})\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos(2n+1)v,

\operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos 2nv.

Soluții la ecuații diferențiale ordinare neliniare

Derivatele celor trei funcții eliptice Jacobi de bază sunt scrise astfel:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;\;k)=\mathrm {cn} \,(z;\ ;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;\;k)=-\mathrm {sn} \,(z; \;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;\;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {cn} \,(z;\;k).

Folosind teorema, a cărei formulare este dată mai sus , pentru o ecuație dată ( ), ale cărei soluții sunt funcții eliptice Jacobi: $k$ $0<k<1$

$\mathrm {sn} \,(x;\;k)$ este o soluție a ecuației și ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }y^{2});$

$\mathrm {cn} \,(x;\;k)$ este o soluție a ecuației și ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }+k^{2}y^{2});$

$\mathrm {dn} \,(x;\;k)$ este o soluție a ecuației și ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2))}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2 }-y^{2}).$

Link -uri

Weisstein, Eric W. Jacobi Elliptic Functions (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Funcții eliptice (downlink) - Proceduri pentru Matlab

Literatură

Bobylev D.K. Integrale și funcții eliptice // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice . — New York: Dover, 1972. Vezi capitolul 16

Akhiezer N. I. Elemente de teoria funcţiilor eliptice (neopr.) . — M .: Nauka, 1970.

Watson J. N., Whittaker E. T. Curs de analiză modernă. Partea 2. Funcții transcendente . - M . : Mir, 1963. (Rusă) sau Moscova: URSS, 2010

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius