Pseudogrup transformat

Un pseudogrup de transformări ale unei varietăți netede este o familie de difeomorfisme de submulțimi deschise ale unei varietăți în , care este închisă sub compoziția mapărilor, trecerea la o mapare inversă și, de asemenea, restricția și lipirea mapărilor. $M$ $M$ $M$

Definiție precisă

Pseudogrupul de transformări al unei varietăți constă din transformări locale, adică perechi de forma , unde este o submulțime deschisă în , și este un difeomorfism , și se presupune că $\Gamma$ $M$ $p=(D_{p},{\bar {p))}$ $D_{p}$ $M$ ${\barp}$ $D_{p}\la M$

$p,q\in \Gamma \Rightarrow p\circ q=({\bar {q))^{-1}(D_{p}\cap {\bar {q)}(D_{q}) ),{\bar {p}}\circ {\bar {q}})\in \Gamma$
$p\in \Gamma \Rightarrow p^{-1}=({\bar {p}}(D_{p}), {\bar {p}}^{-1})\in \Gamma$
$(M,id)\in \Gamma$ ,
if este un difeomorfism al unei submulțimi deschise în și , unde sunt submulțimi deschise în , atunci pentru orice . $p$ $D$ $M$ $D=\cup _{\alpha }D_{\alpha }$ $D_{\alpha }$ $M$ $(D,p)\in \Gamma \Longleftrightarrow (D_{\alpha },p)\in \Gamma$ $\alfa$

Exemple

O acțiune netedă arbitrară a unui grup asupra unei varietăți.
Fie o varietate netedă și asupra căreia un grup acționează fără probleme, atunci „restricția” acțiunii la o mulțime deschisă arbitrară este un pseudogrup de transformări. Mai precis , este cuprinsă în pseudogrupul dacă și . $M$ $G$ $\Omega$ $p=(D_{p},{\bar {p))}$ ${\bar {p}}\în G$ $D_{p},{\bar {p}}(D_{p})\subset \Omega$

Definiții înrudite

La fel ca un grup de transformare, un pseudogrup de transformare definește o relație de echivalență ; clasele de echivalenţă se numesc orbitele sale . $M$

Tipuri de pseudogrupuri

Se numește pseudogrup de transformări ale unei varietăți $\Gamma$ $M$

tranzitiv dacă este singura sa orbită, $M$
primitiv dacă nu există foliații netede -invariante non-triviale (altfel pseudogrupul de transformare se numește imprimitive ). $M$ $\Gamma$

Variații și generalizări

Modificând în mod corespunzător această definiție, se poate defini un pseudogrup de transformări ale unui spațiu topologic arbitrar sau chiar o mulțime arbitrară.

Literatură

Vinogradov I.M. (ed.) - Enciclopedie matematică. Volumul 4. - M .: Sov. enciclopedie, 1977 - p. 730-732.