Set deschis

Un set deschis este o mulțime , fiecare element fiind inclus în el împreună cu o anumită vecinătate (în spații metrice și, în special, pe linia reală). De exemplu, interiorul unei mingi (fără graniță) este un set deschis, dar mingea împreună cu granița nu este deschisă.

Termenul de „multimi deschise” se aplica submultimilor de spatii topologice si in acest caz nu caracterizeaza multimea „in sine” in nici un fel (nici in sensul teoriei multimilor , nici macar in sensul structurii topologice induse asupra acesteia) [1] [2] . Un set deschis este un concept fundamental în topologia generală .

Spațiu euclidian

Să existe un subset al spațiului euclidian . Apoi se numește deschis dacă astfel încât , unde este vecinătatea ε a punctului $U\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $U$ $\forall x_{0}\în U\;\există \varepsilon >0,$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\subset U$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\equiv \left\{x\in {\mathbb {R}}^{n}:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \right\ }$ $x_{0}.$

Cu alte cuvinte, o mulțime este deschisă dacă oricare dintre punctele sale este interior .

De exemplu, un interval ca subset al liniei reale este un set deschis. În același timp, segmentul sau semiintervalul nu este deschis, deoarece punctul aparține mulțimii, dar niciuna dintre vecinătățile sale nu este conținută în acest set. $(a,b)$ $[a,b]$ $[a, b)$ $A$

Spațiu metric

Să fie un spațiu metric și . Atunci se numește deschis dacă astfel încât , unde este vecinătatea ε a punctului în raport cu metrica . Cu alte cuvinte, o mulțime dintr-un spațiu metric se numește set deschis dacă fiecare punct al mulțimii este inclus în acest set împreună cu o bilă deschisă centrată în punctul [3] . $(X,\rho )$ $U\subset X$ $U$ $\forall x_{0}\în U\;\există \varepsilon >0,$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\subset U$ $V_{{\varepsilon }}(x_{0})\equiv \{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<\varepsilon \}$ $x_{0}$ $\rho$ $U$ $(X,\rho )$ $x_{{0}}$ $U$ $x_{{0}}$

Spațiu topologic

O generalizare a definițiilor de mai sus este noțiunea de set deschis din topologia generală.

Un spațiu topologic , prin definiție, conține o „listă” a submulțimii sale deschise , o „topologie” definită la . O submulțime astfel încât să fie un element al topologiei (adică ) se numește o mulțime deschisă în raport cu topologia . $(X,{\mathcal {T}})$ $\mathcal{T}$ $X$ $U\subset X$ $U\in {\mathcal {T}}$ $\mathcal{T}$

O subclasă importantă de mulțimi deschise este formată din mulțimi deschise canonic , fiecare dintre acestea fiind interiorul ( nuezul deschis ) al unui set închis (și, prin urmare, coincide cu interiorul închiderii sale). Orice set deschis este conținut în cel mai mic set deschis canonic - acesta va fi interiorul închiderii mulțimii [4] . $G$ $G$

Istorie

Seturile deschise au fost introduse de René-Louis Baer în 1899. [5]

Vezi și

Note

↑ Appert, Antoine. Sur le meilleur terme primitif en topologie (franceză) // Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques. - 1982. - Nr 3 . — P. 65 . Arhivat din original pe 17 februarie 2009.
↑ set deschis pe everything2.com
↑ Shilov G. E. Analiză matematică. Curs special. — M.: Fizmatlit, 1961. — P. 29
↑ Alexandrov P. S. , Pasynkov V. A. Introducere în teoria dimensiunii. — M .: Nauka, 1973. — 576 p. - C. 24-25.
↑ R. Baire. În funcție de funcțiile variabilelor. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922) 3.1 (1899), pp. 1–123.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online)